[論文レビュー] A positive proportion of cubic curves over Q admit linear determinantal representations

Yasuhiro Ishitsuka|Kyushu University Institutional Repository (QIR) (Kyushu University)|Dec 16, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、大域体およびヤコビ多様体の性質を用いて、ℚ 上の滑らかな平面三次曲線の正の割合が線形行列式表現をもつことを証明する。さらに、Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 予想を仮定すると、そのような表現に関して局所・全球的原理が失敗する正の割合が存在し、有理点を越えた算術的障害を強調する。

ABSTRACT

Can a smooth plane cubic be defined by the determinant of a square matrix with entries in linear forms in three variables? If we can, we say that it admits a linear determinantal representation. In this paper, we investigate linear determinantal representations of smooth plane cubics over various fields, and prove that any smooth plane cubic over a large field (or an ample field) admits a linear determinantal representation. Since local fields are large, any smooth plane cubic over a local field always admits a linear determinantal representation. As an application, we prove that a positive proportion of smooth plane cubics over Q, ordered by height, admit linear determinantal representations. We also prove that, if the conjecture of Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains on the distribution of Selmer groups is true, a positive proportion of smooth plane cubics over Q fail the local-global principle for the existence of linear determinantal representations.

研究の動機と目的

• ℚ 上の滑らかな平面三次曲線のうち、線形行列式表現をもつものの割合を特定すること。
• ℚ 上でのこのような表現の存在に関して、局所・全球的原理が失敗するかどうかを調査すること。
• 線形行列式表現の存在をヤコビ多様体のモーデル・ヴェイユランクに関連付けること。
• 大域体およびブラウアー群の結果を、行列式表現の文脈における算術的障害に応用すること。

提案手法

• 大（豊富な）体の理論を用いて、このような体上の任意の滑らかな平面三次曲線が線形行列式表現をもつことを証明する。
• ℚ 上での行列式表現の存在を決定する主要な不変量として、ヤコビ多様体のモーデル・ヴェイユランクを適用する。
• 平面三次曲線の高さに基づく数え上げと、Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 予想を介したセレマー群の分布を関連付ける。
• ブラウアー群の計算とガロアコホホロジーを用いて、行列式表現への障害を検出する。
• Bhargava–Skinner–Zhang の楕円曲線のランクに関する結果を応用し、正または自明なモーデル・ヴェイユランクをもつ曲線の割合に対する下界を導出する。
• 短完全列 (4.1) を通じて、直線バンドルおよび行列式表現の幾何的条件をコホモロジー的基準に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けたℚ 上の滑らかな平面三次曲線のうち、どれくらいの割合が線形行列式表現をもつのか。
• RQ2 すべての完備化ℚ_v で線形行列式表現をもつが、ℚ 自身ではもたない滑らかな平面三次曲線が存在するか。
• RQ3 ヤコビ多様体のモーデル・ヴェイユランクは、ℚ 上での線形行列式表現の存在とどのように関係するか。
• RQ4 相対ブラウアー群は、線形行列式表現の障害にどのような役割を果たすか。
• RQ5 局所条件（ℚ_v 上）が行列式表現の存在をどれほど保証するのか、またいつグローバルに失敗するのか。

主な発見

• 滑らかな平面三次曲線のうち、そのヤコビアンにモーデル・ヴェイユランク 1 をもつ曲線の存在により、ℚ 上で線形行列式表現をもつ正の割合が存在する。
• Bhargava–Skinner–Zhang の下界に基づき、ℚ 上の楕円曲線の少なくとも 20.68% がℚ 上で線形行列式表現をもつ。
• ℚ 上の楕円曲線の少なくとも 16.50% は、線形行列式表現に関して局所・全球的原理を満たさない。
• Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 予想が成り立つならば、ℚ 上の滑らかな平面三次曲線の正の割合が、そのような表現に関して局所・全球的原理を満たさない。
• 非自明なモーデル・ヴェイユ群と非自明な相対ブラウアー群をもつが、ℚ 上で線形行列式表現をもたない、非同型な無限個の滑らかな平面三次曲線が存在する。
• 明示的な例を通じて、分岐する除法代数に由来する非自明なブラウアー群の元が、このような表現の障害であることが示された。