[论文解读] A structural approach to kernels for ILPs: Treewidth and Total Unimodularity

Bart M. P. Jansen, Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Formal Methods in Verification被引用 14

一句话总结

本文提出了一种针对整数线性规划（ILP）可行性问题的结构化核化方法，通过利用子系统中的有界树宽和全单峰性。研究表明，当ILP实例中存在边界大小（以变量数和取值范围大小衡量）较小的突出部分（protrusions）时，可被等价地替换为多项式大小的子系统，从而在存在此类结构时实现多项式核化；反之，本文证明了下界结果，表明更大的边界或高取值范围的变量会阻碍有效的核化。

ABSTRACT

Kernelization is a theoretical formalization of efficient preprocessing for NP-hard problems. Empirically, preprocessing is highly successful in practice, for example in state-of-the-art ILP-solvers like CPLEX. Motivated by this, previous work studied the existence of kernelizations for ILP related problems, e.g., for testing feasibility of Ax <= b. In contrast to the observed success of CPLEX, however, the results were largely negative. Intuitively, practical instances have far more useful structure than the worst-case instances used to prove these lower bounds. In the present paper, we study the effect that subsystems with (Gaifman graph of) bounded treewidth or totally unimodularity have on the kernelizability of the ILP feasibility problem. We show that, on the positive side, if these subsystems have a small number of variables on which they interact with the remaining instance, then we can efficiently replace them by smaller subsystems of size polynomial in the domain without changing feasibility. Thus, if large parts of an instance consist of such subsystems, then this yields a substantial size reduction. We complement this by proving that relaxations to the considered structures, e.g., larger boundaries of the subsystems, allow worst-case lower bounds against kernelization. Thus, these relaxed structures can be used to build instance families that cannot be efficiently reduced, by any approach.

研究动机与目标

• 弥合ILP预处理在实际中的成功（例如在CPLEX中的应用）与一般ILP实例的理论核化负面结果之间的差距。
• 探究子系统中诸如有界树宽和全单峰性等结构性质是否能实现有效的预处理与核化。
• 确定在何种条件下此类子系统可实现规模缩减同时保持可行性。
• 建立正面的核化结果以及针对结构假设放松情况的匹配下界。

提出的方法

• 通过其Gaifman图对ILP约束矩阵进行建模，其中变量为顶点，若两个变量共享一个约束则在它们之间连边。
• 识别突出部分——即与实例其余部分共享较小边界（共享变量）的子系统，其内部结构具有有界树宽或为全单峰矩阵。
• 使用动态规划计算突出部分边界变量的所有可行赋值，基于其内部结构。
• 构建一个大小为边界大小和取值范围大小的多项式函数的等价替换子系统，通过编码可行边界赋值的约束来实现。
• 利用信息论论证证明编码大小的下界，表明当边界大小或取值范围大小超过常数界限时，核化将不可能实现。
• 利用元核化结果表明，若Gaifman图可分解为常数个此类突出部分（具有有界树宽或全单峰性且边界较小），则整个ILP实例可获得多项式核。

实验结果

研究问题

• RQ1 当ILP实例的大部分子系统具有有界树宽或为全单峰矩阵时，ILP可行性是否可实现核化？
• RQ2 在何种结构性条件下，此类子系统的边界可实现高效核化？
• RQ3 当结构化子系统的边界大小或取值范围大小增加时，核化的极限在哪里？
• RQ4 相同的预处理技术能否扩展到带有目标函数的ILP优化变体？
• RQ5 当结构性假设被放松（例如允许一个或多个大取值范围的边界变量）时，是否存在核化的固有障碍？

主要发现

• 具有r个边界变量和取值范围大小d的ILP子系统，可被替换为大小为O(r·d^r)且编码大小为Õ(d^{2r})的等价子系统，同时保持可行性。
• 此类替换的编码大小在对数因子范围内是最优的，因为描述所有可行边界赋值至少需要Ω(d^r)比特。
• 对于全单峰子系统，编码大小可降低至Θ(d^{r(r-1)/(r+1)} r log d)，相比基于树宽的替换可节省近d倍的存储。
• 下界结果表明，即使在强结构性假设下，若边界中包含单个大取值范围的变量，核化仍不可能实现。
• 当Gaifman图可被分解为O(k)个突出部分（具有有界树宽或全单峰性且边界较小）时，整个ILP实例的核大小为k和d的多项式函数。
• 若目标函数中被移除变量的贡献以足够精度存储，该结果可扩展至优化型ILP，但会增加核大小的复杂性。