[論文レビュー] A Version of the Goldman-Millson Theorem for Filtered L-infinity Algebras

Vasily Dolgushev, Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$L_\infty$-代数に対するGoldman-Millson定理のフィルター付き版を確立し、すべてのフィルトレーションレベルで quasi-isomorphism を誘導するフィルター付き $L_\infty$-代数間の $\infty$- quasi-isomorphism が、それらの Deligne-Getzler-Hinich $\infty$-群体に弱同値を誘導することを証明する。この結果は、単体的メソッドを用いて古典的変形理論をフィルター付き設定へ拡張し、有理型ホモトピー論および導来代数的幾何学のための基礎的ツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper we consider $L_{\infty}$-algebras equipped with complete descending filtrations. We prove that, under some mild conditions, an $L_{\infty}$ quasi-isomorphism $U: L o ilde{L}$ induces a weak equivalence between the Deligne-Getzler-Hinich (DGH) $\infty$-groupoids corresponding to $L$ and $ ilde{L}$, respectively. This paper may be considered as a modest addition to foundational paper arXiv:math/0404003 by Ezra Getzler.

研究の動機と目的

• 完全降下フィルトレーションを備えたフィルター付き $L_\infty$-代数へゴールドマン＝ミルソン定理を拡張すること。
• このような代数間の $\infty$- quasi-isomorphism が、それらに付随する Deligne-Getzler-Hinich (DGH) $\infty$-群体の弱同値を誘導する条件を確立すること。
• フィルター付き設定における変形理論、有理型ホモトピー論、および導来代数的幾何学のための基礎的ツールを提供すること。
• ゲツラーの研究で用いられる補助的構成（たとえば、カン複体 $\gamma_\bullet(L)$）を回避し、1-セルの連結を用いた直接的証明を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、コデリバーションと $\infty$-準同型の両方に適合する完全降下フィルトレーションを備えた $L_\infty$-代数を扱う。
• 彼らは、$L \hat{\otimes} \Omega_n$ におけるMaurer-Cartan要素を用いて、de Rham-Sullivan代数との完了テンソル積を介して、Kan複体としてのDGH $\infty$-群体 $\mathfrak{MC}_\bullet(L)$ を定義する。
• 鍵となる技術的道具は、ホモトピー作用素による再帰的平均化プロセスを用いて、無限個のフィルター付き1-セルを連結する $\mathfrak{MC}_\bullet(L)$ 内の1-セルの列の構成である。
• 彼らは、$\infty$-準同型の線形項がすべてのフィルトレーションレベル $\mathcal{F}_m L \to \mathcal{F}_m \tilde{L}$ で quasi-isomorphism を誘導するならば、$\mathfrak{MC}_\bullet$ 上に誘導される写像が弱同値であることを証明する。
• 証明は、連続的トポロジーでの収束を保証するための、2つのフィルター成分の間を補間する1-セルの列を構成する補題（補題C.1）に依存している。
• 証明は、補助的カン複体の使用を避け、フィルター構造と無限級数の収束性を用いて、直接的にホーン埋め込み条件における上げを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター付き $L_\infty$-代数間の $\infty$- quasi-isomorphism が、それらのDGH $\infty$-群体上で弱同値を誘導する条件は何か？
• RQ2 完全降下フィルトレーションを備えたフィルター付き $L_\infty$-代数の文脈において、古典的ゴールドマン＝ミルソン定理をどのように一般化できるか？
• RQ3 補助的カン複体を導入せずに、フィルター構造と収束性の性質のみを用いて、DGH $\infty$-群体の弱同値性を確立できるか？
• RQ4 $\infty$-準同型がフィルターと適合することによって、$\mathfrak{MC}_\bullet$ 上に誘導される写像が弱同値であることを保証する役割は何か？

主な発見

• フィルター付き $L_\infty$-代数 $L$ と $\tilde{L}$ 間の $\infty$- quasi-isomorphism $U: L \to \tilde{L}$ が、すべてのフィルトレーションレベル $\mathcal{F}_m L \to \mathcal{F}_m \tilde{L}$ で線形項が quasi-isomorphism を誘導するならば、$\mathfrak{MC}_\bullet(U): \mathfrak{MC}_\bullet(L) \to \mathfrak{MC}_\bullet(\tilde{L})$ は弱同値である。
• 任意のフィルター付き $L_\infty$-代数 $L$ に対して、単体的集合 $\mathfrak{MC}_\bullet(L)$ はKan複体である。これは、フィルター付き $L_\infty$-設定におけるデリーニュ群体の一般化である。
• 著者たちは、完了トポロジーでの収束を保証するように、無限個のフィルター付き1-セルを連結する $\mathfrak{MC}_\bullet(L)$ 内の1-セルの列を構成する。
• 証明は、フィルター付きホモトピー作用素を用いて直接的にホーン埋め込み問題を解くことで、$\mathfrak{MC}_\bullet$ 上の写像がホモトピー型を保存することを確立する。
• ゲツラーの研究で用いられる補助的カン複体 $\gamma_\bullet(L)$ を使用せず、より直接的かつ自己完結的な議論を提供する。
• この結果はゲツラーの基礎的論文における命題4.9を一般化し、フィルター付き設定における変形理論のための重要なツールを提供する。