[論文レビュー] Algebras over infinity-operads

Gijs Heuts|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、dendroidal集合のcoCartesianファイブレーションを用いて、∞-operad上の代数の内在的定義を導入し、LurieのGrothendieck再構成を∞-operadへ一般化する。dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションの∞-圏と、関連する単体的operad hcτ_d(X)上の代数の∞-圏との間の同値性を確立し、∞-operadic代数のホモトピー的整合性を持つ枠組みを提供する。

ABSTRACT

We develop a notion of an algebra over an infinity-operad with values in infinity-categories which is completely intrinsic to the formalism of dendroidal sets. Its definition involves the notion of a coCartesian fibration of dendroidal sets and extends Lurie's definition of a coCartesian fibration of simplicial sets. We show how, for a dendroidal set X, the coCartesian fibrations over X fit together to form an infinity-category coCart(X). Using a generalization of the Grothendieck construction, we prove that coCart(X) is equivalent to the infinity-category of algebras in infinity-categories over the simplicial operad associated to X. This equivalence can be restricted to give an equivalence between algebras taking values in infinity-groupoids (or equivalently, spaces) and the infinity-category of so-called left fibrations over X.

研究の動機と目的

• dendroidal集合の形式的枠組みに完全に内在的な∞-operad上の代数の定義を構築すること。
• LurieのcoCartesianファイブレーション理論を単体的集合からdendroidal集合へ一般化し、operad的構造の高次圏的取り扱いを可能にすること。
• dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションの∞-圏と、単体的operad hcτ_d(X)上の代数の∞-圏との間の∞-圏的同値性を確立すること。
• Grothendieck再構成を∞-operadへ拡張し、ファイブレーションと代数的構造との間のホモトピー的整合性のある対応を提供すること。

提案手法

• 単体的集合におけるLurieのcoCartesianファイブレーションを一般化した、dendroidal集合のcoCartesianファイブレーションの概念を導入する。
• マーク付きdendroidal集合上のモデル構造を用いて、dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションの∞-圏 coCart(X) を定義する。
• 古典的Grothendieck再構成を一般化した、coCart(X) から単体的operad hcτ_d(X) 上の代数の∞-圏へのストレートニング関手を構成する。
• マーク付きdendroidal集合のモデル構造を用い、マーク付きアテイネ写像とcoCartesian同値を用いてホモトピー的枠組みを形式化する。
• 一般化されたGrothendieck再構成を適用し、coCart(X) が ∞-圏における hcτ_d(X)-代数の∞-圏と同値であることを示す。
• この同値性をX上の左ファイブレーションに制限し、∞-群体（空間）値の代数と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dendroidal集合の形式的枠組みに完全に内在的な∞-operad上の代数をどのように定義できるか？
• RQ2 dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションを分類する∞-圏的構造は何か？
• RQ3 dendroidal集合を介して、∞-圏から∞-operadへGrothendieck再構成を一般化できるか？
• RQ4 dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションと、関連する単体的operad hcτ_d(X)上の代数との間にホモトピー論的同値性があるか？
• RQ5 X上の左ファイブレーションは、∞-群体値の代数とどのように関係するか？

主な発見

• dendroidal集合X上のcoCartesianファイブレーションの∞-圏 coCart(X) は、マーク付きdendroidal集合上のcoCartesianモデル構造を用いて適切に定義され、∞-圏をなす。
• ∞-operadic Grothendieck再構成は、∞-圏の同値性を誘導する：coCart(X) ≃ Alg_hcτ_d(X)(Cat_∞) であり、ファイブレーションと代数との間の基本的対応を確立する。
• この構成は、X上の左ファイブレーションと∞-群体値代数との間の同値性へ制限され、古典的ストレートニングの∞-圏への一般化を実現する。
• マーク付きdendroidal集合上のモデル構造が左適切かつ結合的であることが示され、ファイブレーションのホモトピー的解析を支援する。
• dendroidal集合のストレートニング関手が構成され、Lurieの∞-圏におけるストレートニングの一般化として、随伴同値の一部であることが示された。
• この同値性はXに関して自然であり、dendroidal集合の図式圏における余極限およびホモトピー的極限と両立する。