[論文レビュー] An efficient algorithm for the diameter of Cayley graphs generated by transposition trees

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Interconnection Networks and Systems被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、転置木によって生成されるカイリー群の直径を推定するためのアルゴリズムAを提示する。これは、従来のO(n!)法よりも著しく高速なO(n²)のアルゴリズムである。このアルゴリズムは、対称群内のすべての置換を列挙することなく、木構造そのものに直接作用する。その結果得られる値は、常に従来の上界以下であり、場合によってはより厳密な値を提供する。最悪ケースにおける真の直径からの差は、少なくともn−4に達する。

ABSTRACT

A problem of practical and theoretical interest is to determine or estimate the diameter of various families of Cayley networks. The previously known estimate for the diameter of Cayley graphs generated by transposition trees is an upper bound given in the oft-cited paper of Akers and Krishnamurthy (1989). In this work, we first assess the performance of their upper bound. We show that for every $n$, there exists a tree on $n$ vertices, such that the difference between the upper bound and the true diameter value is at least $n-4$. Evaluating their upper bound takes time $Ω(n!)$. In this paper, we provide an algorithm that obtains an estimate of the diameter, but which requires only time $O(n^2)$; furthermore, the value obtained by our algorithm is less than or equal to the previously known diameter upper bound. Such an improvement to polynomial time, while still performing at least as well as the previous bound, is possible because our algorithm works directly with the transposition tree on $n$ vertices and does not require examining any of the permutations. We also provide a tree for which the value computed by our algorithm is not necessarily unique, which is an important result because such examples are quite rare. For all families of trees we have investigated so far, each of the possible values computed by our algorithm happens to also be an upper bound on the diameter.

研究の動機と目的

• 転置木によって生成されるカイリー群の直径を推定するための従来の方法の計算非効率性を解消すること。
• これまでに知られていた上界と同等以上に良い推定値を提供する多項式時間アルゴリズムの開発。
• 従来の上界と真の直径との間の性能差、特に最悪ケースにおける差の分析。
• 異なる木構造において、アルゴリズムの出力が一意的かつ妥当であるかの検証。
• 直径推定プロセスに影響を与える転置木の構造的性質の調査。

提案手法

• アルゴリズムは、対称群内のすべての置換を列挙することなく、転置木構造そのものに直接作用する。
• 部分木分解に基づく値βの再帰的計算手順を用い、最大のβ値（β_max）を直径の推定値とする。
• カイリー群の直径が木内の距離の和によって上限付けられることに着目し、部分木解析を用いて調整する。
• 木内のすべての頂点ペアについて候補となるβ値を評価し、それらの最大値を全ペアで選択する。
• 木の連結性と転置の性質を活用し、明示的な置換走査なしに境界を導出する。
• 木のO(n)個の頂点とO(n)本の辺を効率的に走査・集約できるため、時間計算量はO(n²)である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 転置木について、従来の直径上界f(T)と真の直径との間の最悪ケース差は何か？
• RQ2 すべての置換を列挙せずに、カイリー群の直径を推定する多項式時間アルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 複数の値が可能な状況下でも、提案アルゴリズムが常に真の直径の上界を満たすか？
• RQ4 どの種の転置木に対して、アルゴリズムの出力が一意的であり、その要因となる構造的性質は何か？
• RQ5 アルゴリズムの出力が既知の上界f(T)と同等であるとみなせるか？また、どのような条件下でそれよりも厳密に小さいか？

主な発見

• すべてのn > 4に対して、f(T)と真の直径との差が少なくともn−4に達する転置木が存在する。
• 提案されたアルゴリズムAは、O(n²)時間で直径推定値を計算する。これは、従来の方法が要請するΩ(n!)時間と比べて顕著な高速化である。
• アルゴリズムAが計算する値は、常に従来の上界f(T)以下であり、一部のケースではそれよりも厳密に小さい。
• 少なくとも1つの木について、アルゴリズムの出力が一意でないことが確認された。これは、推定プロセスにおける構造的複雑性を示す稀な事例である。
• テストされたすべての木の族について、アルゴリズムが返す最大値β_maxは、既知の上界f(T)と一致した。これは、一般に有効な上界である可能性を示唆している。
• アルゴリズムの効率性と正確性は、置換を明示的に検査することなく、木構造そのものを直接操作することに起因する。