[论文解读] An implementation of a locally modified finite element method for interface problems in deal.II

Stefan Frei, Thomas Richter+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在 deal.II 中实现的局部改进有限元法，通过在固定四边形子域内参数化嵌入局部自由度，解决了界面问题中的弱不连续性，避免了显式拟合网格。该方法实现了最优收敛率，并可通过共轭梯度法/预处理共轭梯度法等迭代求解器实现高效求解，其性能通过两次数值实验和条件数分析得到验证。

ABSTRACT

This source code contains an implementation of the locally modified finite element method first proposed by S. Frei, T. Richter, SIAM Journal on Numerical Analysis 52 (5), 2315-2334. This method is a simple approach to solve interface problems, as arising in fluid-structure-interactions or multi-phase flows, or problems on complex boundaries. The implementation is contained in the files locmodfe.cc/h, together with a user program (step-modfe.cc) that is similar to many deal.II steps (www.dealii.org) and a problem-specific file (problem.h) with specific data for some numerical tests provided in the src folder. The source code is based on the deal.II.8.5.0 version.<br> In the test folder, we provide the parameter files parameters_test_case_1/2.prm, where algorithmic, numerical and physical parameters can be changed. In the current version, parameters are pre-set for the two numerical tests. For the meaning of the parameters, see the detailed comments in the parameter files.<br> <br> Moreover, we provide the output that the program writes to a terminal in the files test_case_1/2.dlog in the same folder, for a comparison of the terminal output results. In the build folder, the file CMakeLists.txt can be used to create a Makefile using cmake, see the explanations given in README.txt. Moreover, the README.txt file provides detailed installation instructions and a compact overview of all source files. Algorithmic descriptions and details of the delivered source code are provided in S. Frei, T. Richter, T. Wick; 2018, arXiv preprint arXiv:1806.00999

研究动机与目标

• 开发一种针对具有间断系数的椭圆界面问题的鲁棒且高效的有限元方法。
• 通过局部参数化增强技术，在无需重划分网格的情况下准确解析移动或曲面界面。
• 在 deal.II 有限元库中实现该方法，对标准代码仅做最小程度修改。
• 展示共轭梯度法/预处理共轭梯度法等迭代线性求解器在所得系统矩阵上的有效性。
• 分析在网格加密和各向异性条件下，该方法的条件数及性能表现。

提出的方法

• 采用固定的背景四边形单元子域网格，仅在被界面切割的单元内进行局部细化，划分为八个三角形或四个四边形。
• 通过参考单元与物理子域之间的参数化映射引入局部自由度，避免显式生成网格。
• 使用离散水平集函数确定子域归属，并在积分点处应用可变扩散系数。
• 构建层级基函数以稳定系统并控制条件数，从而实现鲁棒的迭代求解。
• 实现中复用 deal.II 的标准基础设施，仅对有限元值和积分点评估进行局部修改。
• 该方法支持等阶有限元并结合压力稳定化，且可扩展至高阶和三维问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部改进的有限元法是否能在不重划分网格的情况下，对界面问题实现最优收敛率？
• RQ2 在网格加密和界面位置变化下，系统矩阵的条件数如何变化？
• RQ3 共轭梯度法和预处理共轭梯度法是否能有效应用于所得线性系统？
• RQ4 在高对比系数问题中，该方法在精度和收敛率方面的表现如何？
• RQ5 与标准扩展有限元法相比，该参数化增强策略在实现复杂度和稳定性方面有何差异？

主要发现

• 数值实验验证了该方法在具有系数跳跃的椭圆界面问题中实现了最优收敛率。
• 采用缩放层级基函数后，系统矩阵的条件数保持有界，有效避免了在关键界面位置附近的病态问题。
• 共轭梯度法和预处理共轭梯度法等迭代求解器表现高效且可扩展，其收敛行为在网格加密和各向异性条件下依然稳健。
• 实现仅需对标准 deal.II 代码进行少量扩展，所有修改均集中于子域级别的有限元计算部分。
• 该方法可扩展至高阶方法和三维问题，目前正开展并行化及边界校正技术的研究。
• 该方法适用于复杂多物理场问题（如大变形下的流固耦合），已有先前应用案例予以验证。