[論文レビュー] An outline of shifted Poisson structures and deformation quantisation in derived differential geometry

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 63被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、導来微分幾何学におけるずらしシンプレクティック構造と非退化なずらしポアソン構造の同値性を確立し、導来代数幾何学における結果をdg $Δ$-多様体、NQ-多様体、リー群ガロア、および導来高次群ガロアへと拡張する。$n$-ずらしポアソン構造の変形量子化を、曲がった $A_\infty$ および $BV_\infty$ 代数を用いて定式化し、$n=0$、$n=-1$、$n=-2$ の場合を含む。これらの構成はホモトピー同値およびハイパーコVERSに不変であり、微分的スーパー・スタックへ一般化される。

ABSTRACT

We explain how to translate several recent results in derived algebraic geometry to derived differential geometry. These concern shifted Poisson structures on NQ-manifolds, Lie groupoids, smooth stacks and derived generalisations, and include existence and classification of various deformation quantisations.

研究の動機と目的

• 最近のずらしポアソン構造および変形量子化に関する結果を導来代数幾何学から導来微分幾何学へ翻訳すること。
• dg多様体、NQ-多様体、および導来リー群ガロアにおいて、ずらしシンプレクティック構造と非退化なずらしポアソン構造の同値性を確立すること。
• dg NQ-多様体および高次群ガロアの文脈において、$n$-ずらしポアソン構造の変形量子化を定式化すること、特に $n=0$、$n=-1$、$n=-2$ の場合を含む。
• 単体的解体および超層の層化を用いて、これらの構造を滑らかなスタックおよび微分的スーパー・スタックへ拡張し、モルティダ同値類に依存しないことを保証すること。
• 微分的幾何的設定において曲がった $A_\infty$ および $BV_\infty$ 代数を一般化する量子化の枠組みを提供すること。

提案手法

• 導来微分幾何学の基礎的枠組みとしてdg $Δ$-環およびdg $Δ$-多様体を用いる。
• 超NQ-多様体およびdg NQ-多様体上のずらしポアソン構造を、滑らかな関数のdg代数上の$L_\infty$-代数構造として定義し、作用素を多重微分作用素として扱う。
• ホモロジー代数を用いて$Q$-および$\delta$-微分を関連づけ、$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2$-重層化スキームにより、コチェーンおよびチェーンの次数を区別する。
• 単体的dg NQ-多様体の正規化を構成し、超dg NQ-多様体を得ることで、リー群ガロアおよび高次群ガロア上でのグローバル構成を可能にする。
• ハイパーコVERSおよび超層の層化を用いて、ポアソン構造および量子化がスタックのモルティダ同値類にのみ依存することを保証する。
• 結果 [Pri6] および [CPT+] を応用し、単体的解体および導来群ガロア構造を用いて代数的幾何の証明を微分的設定へ適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来代数幾何学におけるずらしシンプレクティック構造は、どのように導来微分幾何学に再定式化できるか？
• RQ2 dgおよびNQ-多様体の設定において、ずらしシンプレクティック構造と非退化なずらしポアソン構造の正確な対応関係は何か？
• RQ3 導来微分幾何学の枠組みにおいて、$n=0$、$n=-1$、$n=-2$ の$ n $-ずらしポアソン構造の変形量子化はどのように一般化できるか？
• RQ4 導来リー群ガロア上のポアソン構造およびその量子化は、その基盤となるスタックのモルティダ同値類にどの程度依存するか？
• RQ5 導来リー群ガロアの正規化が、量子化に適したwell-behavedなdg NQ-多様体をもたらすための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、超NQ-多様体およびdg NQ-多様体上で$n$-ずらしシンプレクティック構造と非退化な$n$-ずらしポアソン構造の同値性を確立し、古典的なシンプレクティック-ポアソン双対性を一般化する。
• $n=0$ の場合、ずらしポアソン構造の変形量子化は、滑らかな関数のdg代数上の曲がった$A_\infty$-代数構造に対応する。
• $n=-1$ の場合、量子化は$BV_\infty$-代数に対応し、スピン構造および平坦な右接続を含む定式化が行われる。
• $n=-2$ の場合、量子化は量子マスター方程式の解によって支配され、BV形式が導来設定へ拡張される。
• 導来リー$k$-群ガロア上でのずらしポアソン構造およびその量子化の構成は、ホモトピー同値およびハイパーコVERSに不変であり、群ガロアの超層化にのみ依存する。
• dg超リー$k$-群ガロアの正規化は、超dg NQ-多様体をもたらし、局所的からグローバル的・スタック的対象へすべての結果を拡張可能にする。