[论文解读] Applications of Uniform Sampling: Densest Subgraph and Beyond

Hossein Esfandiari, MohammadTaghi Hajiaghayi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于统一采样的简单但强大的算法，用于动态图流中的最密子图问题，在使用 Õ(n) 空间和 Õ(1) 更新时间的前提下，通过统一随机采样 Õ(n) 条边并在采样图上计算最密子图，实现了 (1−ϵ)-近似解。该方法可扩展至一类广泛的‘密集子图问题’，包括有向最密子图、最密二分子图、d-max cut 和 d-sum-max 聚类问题，为其中若干问题提供了首个具有强近似保证的流算法。

ABSTRACT

Recently [Bhattacharya et al., STOC 2015] provide the first non-trivial algorithm for the densest subgraph problem in the streaming model with additions and deletions to its edges, i.e., for dynamic graph streams. They present a $(0.5-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space, where factors of $ε$ and $\log(n)$ are suppressed in the $ ilde{O}$ notation. However, the update time of this algorithm is large. To remedy this, they also provide a $(0.25-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space with update time $ ilde{O}(1)$. In this paper we improve the algorithms by Bhattacharya et al. by providing a $(1-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space. Our algorithm is conceptually simple - it samples $ ilde{O}(n)$ edges uniformly at random, and finds the densest subgraph on the sampled graph. We also show how to perform this sampling with update time $ ilde{O}(1)$. In addition to this, we show that given oracle access to the edge set, we can implement our algorithm in time $ ilde{O}(n)$ on a graph in the standard RAM model. To the best of our knowledge this is the fastest $(0.5-ε)$-approximation algorithm for the densest subgraph problem in the RAM model given such oracle access. Further, we extend our results to a general class of graph optimization problems that we call heavy subgraph problems. This class contains many interesting problems such as densest subgraph, directed densest subgraph, densest bipartite subgraph, $d$-cut and $d$-heavy connected component. Our result, by characterizing heavy subgraph problems, partially addresses open problem 13 at the IITK Workshop on Algorithms for Data Streams in 2006 regarding the effects of subsampling in this context.

研究动机与目标

• 为具有边插入和删除的动态图流中的最密子图问题，开发一种快速且空间高效的流算法。
• 改进以往的流算法，这些算法仅能提供 (0.5−ϵ) 或 (0.25−ϵ)-近似，且空间消耗大或更新时间慢。
• 将统一采样方法的应用范围扩展至一类广泛的图优化问题，称为‘密集子图问题’，包括最密子图、有向最密子图、最密二分子图、d-max cut 和 d-sum-max 聚类问题。
• 解决 IITK 图流研讨会第13个开放问题，即关于子采样在图流处理中的影响。

提出的方法

• 核心方法从输入图流中统一随机采样 Õ(n) 条边，并在采样图上计算最密子图。
• 算法使用蓄水池采样或类似技术维护一条统一的边随机样本，确保使用 Õ(n) 空间和每条边 Õ(1) 的更新时间。
• 该方法利用了采样图中最密子图在高概率下近似于完整图中最密子图的性质，从而实现 (1−ϵ)-近似。
• 通过证明目标函数满足局部线性性、遗传性以及 γ-边界条件，该方法被推广至‘密集子图问题’，使得统一采样能够保持近似保证。
• 对于每一类问题，该方法定义了解空间、局部密度函数 f 和 γ 参数，使得 γ-边界条件成立，从而确保采样方法能产生 (1−ϵ)-近似。
• 在 RAM 模型中，通过边集的预言机访问高效实现该算法，运行时间为 Õ(n)，因此在该访问模型下，它是目前已知最快的 (0.5−ϵ)-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用统一采样在动态图流中以 Õ(n) 空间和 Õ(1) 更新时间实现最密子图问题的 (1−ϵ)-近似？
• RQ2 统一采样方法能否推广至最密子图之外的其他图优化问题？
• RQ3 何种问题的结构特性可确保在流设置下统一采样能保持 (1−ϵ)-近似？
• RQ4 统一采样是否解决了图流中关于子采样的开放问题13，特别是针对最密二分子图和 d-max cut 等问题？

主要发现

• 所提出的算法在动态图流中仅使用 Õ(n) 空间和每条边 Õ(1) 的更新时间，即可实现最密子图问题的 (1−ϵ)-近似。
• 该方法概念上极为简洁：统一随机采样 Õ(n) 条边，并在采样图上计算最密子图，该方法以高概率产生高精度近似。
• 该算法是首个在动态流模型中以 Õ(n) 空间和 Õ(1) 更新时间实现 (1−ϵ)-近似的算法，优于以往仅能实现 (0.5−ϵ) 和 (0.25−ϵ) 近似的算法，且更新时间更优。
• 该方法可推广至一类广泛的‘密集子图问题’，包括有向最密子图、最密二分子图、d-max cut 和 d-sum-max 聚类问题，为这些问题提供了首个具有常数因子近似保证的流算法。
• 对于 d-sum-max 聚类问题，通过设置 γ = (n−2d)/(n log d)，确保 γ-边界条件成立，从而在采样下保持近似质量，实现 (1−ϵ)-近似。
• 在具有边集预言机访问的 RAM 模型中，该算法运行时间为 Õ(n)，因此是该访问模型下目前已知最快的 (0.5−ϵ)-近似算法。