[論文レビュー] Kernelization via Sampling with Applications to Dynamic Graph Streams

Rajesh Chitnis, Graham Cormode+5 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|May 7, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、動的グラフストリームおよび分散システム向けに、パrameterizedグラフ問題を解くために効率的なカーネル化を可能にする、新しい部分グラフサンプリングプリミティブを導入する。最大マッチング、頂点被覆、ヘッジセットの問題において、最適な空間計算量を達成し、更新時間がサブ線形であり、対数要因を除いて空間計算量の上限がタイトである。

ABSTRACT

In this paper we present a simple but powerful subgraph sampling primitive that is applicable in a variety of computational models including dynamic graph streams (where the input graph is defined by a sequence of edge/hyperedge insertions and deletions) and distributed systems such as MapReduce. In the case of dynamic graph streams, we use this primitive to prove the following results: -- Matching: First, there exists an $ ilde{O}(k^2)$ space algorithm that returns an exact maximum matching on the assumption the cardinality is at most $k$. The best previous algorithm used $ ilde{O}(kn)$ space where $n$ is the number of vertices in the graph and we prove our result is optimal up to logarithmic factors. Our algorithm has $ ilde{O}(1)$ update time. Second, there exists an $ ilde{O}(n^2/α^3)$ space algorithm that returns an $α$-approximation for matchings of arbitrary size. (Assadi et al. (2015) showed that this was optimal and independently and concurrently established the same upper bound.) We generalize both results for weighted matching. Third, there exists an $ ilde{O}(n^{4/5})$ space algorithm that returns a constant approximation in graphs with bounded arboricity. -- Vertex Cover and Hitting Set: There exists an $ ilde{O}(k^d)$ space algorithm that solves the minimum hitting set problem where $d$ is the cardinality of the input sets and $k$ is an upper bound on the size of the minimum hitting set. We prove this is optimal up to logarithmic factors. Our algorithm has $ ilde{O}(1)$ update time. The case $d=2$ corresponds to minimum vertex cover. Finally, we consider a larger family of parameterized problems (including $b$-matching, disjoint paths, vertex coloring among others) for which our subgraph sampling primitive yields fast, small-space dynamic graph stream algorithms. We then show lower bounds for natural problems outside this family.

研究の動機と目的

• 動的グラフストリームおよびMapReduceのような分散システムに適用可能な汎用的な部分グラフサンプリング技術の開発を目的とする。
• エッジの挿入・削除が可能な動的ストリームモデルにおいて、パrameterizedグラフ問題に対する非自明なアルゴリズムが不足しているという問題に取り組む。
• 最大マッチング、頂点被覆、ヘッジセットといった基本的問題について、対数要因を除いて最適な空間計算量を達成することを目的とする。
• 重み付きマッチングおよび有界な分岐次数を持つグラフへとアプローチを拡張し、サブ線形空間で定数近似を達成することを目的とする。
• 提案されたフレームワークの外側の問題に対してタイトな下界を確立し、ストリーミングアルゴリズムの限界を示すこと。

提案手法

• 小さな解の存在（例：サイズ ≤ k のマッチング）をサンプリングされた部分グラフに保つ非一様な部分グラフサンプリングプリミティブを提案する。
• サンプリングプリミティブを用いて、元のグラフを解の性質を保つ小さな代表的サブグラフに縮小する。
• サンプリング手法を応用し、解のサイズが k 以下である場合に、正確な最大マッチングを Õ(k²) 空間で計算するストリーミングアルゴリズムを設計する。
• 任意サイズのグラフにおける α-近似マッチングを、Õ(n²/α³) 空間で実現し、既知の下界と一致させる。
• 重み付きマッチングおよび有界分岐次数グラフへと一般化し、定数近似のための Õ(n⁴/⁵) 空間を達成する。
• 通信複雑性問題（例：Disjointness）からの還元を用いて、空間計算量の最適性を証明し、p パass のランダム化ストリーミングアルゴリズムに対して Ω(n/p) の空間下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な空間計算量と更新時間で、動的グラフストリームにおけるカーネル化を可能にする部分グラフサンプリングプリミティブを設計できるか？
• RQ2 動的グラフストリームにおいて、正確または近似された最大マッチングを計算するために必要な最小空間量は何か？
• RQ3 このサンプリングアプローチを、頂点被覆、ヘッジセット、b-マッチングなどの他のパラメータ付き問題へと拡張できるか？
• RQ4 このサンプリングフレームワークで解ける問題のクラスの外側の問題に対して、タイトな下界は存在するか？
• RQ5 通信複雑性によって確立された理論的限界と比較して、動的ストリーミングアルゴリズムの空間計算量はどの程度か？

主な発見

• 解のサイズが k 以下である場合に、正確な最大マッチングを Õ(k²) 空間で計算するアルゴリズムが得られ、この境界は対数要因を除いて最適である。
• 任意サイズのグラフに対して α-近似マッチングを Õ(n²/α³) 空間で計算するアルゴリズムが得られ、既知の下界と一致し、従来の挿入のみのアルゴリズムを改善する。
• 分岐次数が有界なグラフに対しては、Õ(n⁴/⁵) 空間のアルゴリズムが定数近似を達成し、一般グラフを超えた適用可能性を示す。
• 集合サイズが d で解のサイズが k 以下の最小ヘッジセット問題に対して、Õ(kᵈ) 空間のアルゴリズムが得られ、この境界は対数要因を除いて最適である。
• この手法は重み付きマッチングや b-マッチング、頂点彩色といった他の問題へと一般化可能であり、小空間の動的ストリーミングアルゴリズムを可能にする。
• 通信複雑性による還元を用いた下界の証明により、chordal グラフの同定、cograph 頂点削除、および双色近傍問題などの問題に対して、p パスのランダム化ストリーミングアルゴリズムが Ω(n/p) 空間を必要とすることが示され、フレームワークのタイトさが裏付けられる。