[论文解读] Approximation Algorithms for Hypergraph Small Set Expansion and Small Set Vertex Expansion

Anand Louis, Yury Makarychev|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出了超图小集合扩张（H-SSE）和小集合顶点扩张问题的近似算法，采用一种新颖的半定规划（SDP）松弛方法，并结合基于随机投影和超立方体采样的随机化舍入方案。该方法在 H-SSE 上实现了 $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ 的近似比，在 $r$-均匀超图中考虑最大度和一致性的更精细界，当 $\delta = 1/2$ 时与图论中最佳已知结果一致。主要贡献是将 ARV 框架成功扩展至超图，并为小集合扩张提供了可证明的保证。

ABSTRACT

The expansion of a hypergraph, a natural extension of the notion of expansion in graphs, is defined as the minimum over all cuts in the hypergraph of the ratio of the number of the hyperedges cut to the size of the smaller side of the cut. We study the Hypergraph Small Set Expansion problem, which, for a parameter $δ\in (0,1/2]$, asks to compute the cut having the least expansion while having at most $δ$ fraction of the vertices on the smaller side of the cut. We present two algorithms. Our first algorithm gives an $ ilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$ approximation. The second algorithm finds a set with expansion $ ilde O(δ^{-1}(\sqrt{d_{ ext{max}}r^{-1}\log r\, ϕ^*} + ϕ^*))$ in a $r$--uniform hypergraph with maximum degree $d_{ ext{max}}$ (where $ϕ^*$ is the expansion of the optimal solution). Using these results, we also obtain algorithms for the Small Set Vertex Expansion problem: we get an $ ilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$ approximation algorithm and an algorithm that finds a set with vertex expansion $O\left(δ^{-1}\sqrt{ϕ^V \log d_{ ext{max}} } + δ^{-1} ϕ^V ight)$ (where $ϕ^V$ is the vertex expansion of the optimal solution). For $δ=1/2$, Hypergraph Small Set Expansion is equivalent to the hypergraph expansion problem. In this case, our approximation factor of $O(\sqrt{\log n})$ for expansion in hypergraphs matches the corresponding approximation factor for expansion in graphs due to ARV.

研究动机与目标

• 开发高效的超图小集合扩张（H-SSE）问题近似算法，该问题是图扩张问题向超图的自然推广。
• 将图扩张的 ARV 框架扩展至超图，特别是针对具有有界大小约束的小集合扩张问题。
• 提供依赖于最大度 $d_{\text{max}}$、一致度 $r$ 和最优扩张 $\phi^*$ 等结构参数的近似保证。
• 解决尽管超图扩张在 VLSI 设计、科学计算和并行计算中具有广泛应用，但其理论研究仍显不足的问题。

提出的方法

• 为 H-SSE 构建一个半定规划（SDP）松弛模型，通过顶点的向量表示来建模通过超边切割的扩张。
• 设计一种随机化舍入过程，通过结合随机超立方体投影与向量范数阈值来选择集合 $S$。
• 使用随机超立方体 $\{0,1\}^l$ 定义随机划分，其中每个顶点根据其投影标签和范数阈值被包含。
• 通过分析投影向量之间的距离并利用 Johnson-Lindenstrauss 引理的集中不等式，界定了切割一条超边的概率。
• 引入参数 $\alpha = \max(1/2^l, 1/n)$ 以控制顶点被选中的概率，确保顶点间采样平衡。
• 应用并集界和尾部估计控制超边被切割的概率，从而得到 $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ 的近似因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 ARV 算法在图的小集合扩张问题中实现的 $O(\sqrt{\log n})$ 近似比能否推广到超图？
• RQ2 当超边具有任意大小时，超图小集合扩张问题可达到何种近似保证？
• RQ3 最大度 $d_{\text{max}}$ 和一致度 $r$ 如何影响超图小集合扩张的近似因子？
• RQ4 该问题的顶点扩张变体能否获得类似的保证？

主要发现

• 本文提出了超图小集合扩张问题的 $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ 近似算法，当 $\delta = 1/2$ 时与图论中最佳已知结果一致。
• 对于最大度为 $d_{\text{max}}$ 的 $r$-均匀超图，该算法实现了 $\tilde{O}(\delta^{-1}(\sqrt{d_{\text{max}} r^{-1} \log r \cdot \phi^*} + \phi^*))$ 的扩张界，其中 $\phi^*$ 为最优扩张值。
• 还为小集合顶点扩张问题获得了 $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$ 的近似比，将结果扩展至基于顶点的扩张。
• 该算法可找到大小至多为 $(1+\varepsilon)\delta n$ 的集合，其扩张值至多为 $O_\varepsilon(\delta^{-1}\log\delta^{-1}\log\log\delta^{-1}\sqrt{\log n}\cdot\phi^*)$，当 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 固定时，该表达式简化为 $\tilde{O}(\delta^{-1}\sqrt{\log n})$。
• 分析采用了一种基于随机投影和超立方体采样的新颖舍入方案，其概率界基于向量距离和范数集中性推导得出。
• 与先前将问题约化为图的方法相比，这些结果实现了改进——后者仅能获得 $O(n\sqrt{\log n\log(1/\delta)})$ 的近似比，而本工作提供了直接的超图方法。