[論文レビュー] Arithmetic properties of signed Selmer groups at non-ordinary primes

Jeffrey Hatley, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Greenberg-VatsalおよびKimのセイバーグループのIwasawa不変量に関する結果を、$p$-非通常素数における非通常モジュラー形式へと拡張する。これは、$\mathbb{Z}_p$-サイクロトミック拡大体上でのWachモジュールを用いて定義された符号付きセイバーグループを用いる。同型なモジュラー形式は、その符号付きセイバーグループにおける$\mu$-および$\lambda$-不変量が関連しており、解析的ランクが2を法として同じ偶性を持つことを示す。これは、特異的および通常の場合の結果を一般化する。

ABSTRACT

We extend many results on Selmer groups for elliptic curves and modular forms to the non-ordinary setting. More precisely, we study the signed Selmer groups defined using the machinery of Wach modules over $\mathbf{Z}_p$-cyclotomic extensions. First, we provide a definition of residual and non-primitive Selmer groups at non-ordinary primes. This allows us to extend techniques developed by Greenberg (for $p$-ordinary elliptic curves) and Kim ($p$-supersingular elliptic curves) to show that if two $p$-non-ordinary modular forms are congruent to each other, then the Iwasawa invariants of their signed Selmer groups are related in an explicit manner. Our results have several applications. First of all, this allows us to relate the parity of the analytic ranks of such modular forms generalizing a recent result of the first-named author for $p$-supersingular elliptic curves. Second, we can prove a Kida-type formula for the signed Selmer groups generalizing results of Pollack and Weston.

研究の動機と目的

• 通常でないモジュラー形式へのGreenberg-VatsalおよびKimのセイバーグループのIwasawa不変量に関する結果を一般化すること。
• Wachモジュール理論を用いて、非通常素数における残差および非原始的符号付きセイバーグループを定義すること。
• 同型なモジュラー形式が、その符号付きセイバーグループにおいて関連する$\mu$-および$\lambda$-不変量を持つことを確立すること。
• 有限$p$-拡大体上での符号付きセイバーグループに対するKida型公式を確立すること。
• 明示的な有限素数集合を用いて、同型なモジュラー形式の解析的ランクを2を法として関連付けること。

提案手法

• 非通常モジュラー形式に対して、$\mathbb{Z}_p$-サイクロトミック拡大体上でのWachモジュールを用いて符号付きセイバーグループ$\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$を定義する。
• Greenberg-Vatsalの補助群技術を非通常設定に適応させるために、非原始的および残差符号付きセイバーグループを導入する。
• $\Lambda$-加群および$\Lambda$-余ねじれ性の理論を用いて、符号付きセイバーグループのIwasawa不変量を分析する。
• 合同性技術および$\Sigma_0$に属する素数における局所的条件を用いて、同型な形式の不変量を関連付ける。
• セイバーグループを有限$p$-拡大に拡張し、$\lambda$-不変量を比較することで、Kida型公式を確立する。
• LMFDBおよびSturmの境界を用いた計算的検証により、解析的ランクの偶性予想をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの非通常モジュラー形式が$p$を法として合同であるとき、それらの$\mu$-不変量はどのように関連しているか？
• RQ2 同型な形式に対して、非原始的符号付きセイバーグループの$\lambda$-不変量は関連するか？
• RQ3 同型な非通常モジュラー形式の解析的ランクを結ぶ偶性条件は存在するか？
• RQ4 有限$p$-拡大体上での符号付きセイバーグループに対してKida型公式が成り立つか？
• RQ5 $\mathcal{S}_f$という有限集合が解析的ランクの偶性関係において果たす役割は何か？

主な発見

• 符号付きセイバーグループ$\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$は、有限インデックスのproperな$\Lambda$-部分加群をもたない。
• 同型なモジュラー形式$f$および$g$に対して、$\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$の$\mu$-不変量が消えることと、$\mathrm{Sel}_i(g/K_\infty)$の$\mu$-不変量が消えることは同値である。
• $\mu$-不変量が消えるとき、非原始的符号付きセイバーグループ$\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(f/K_\infty)$および$\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(g/K_\infty)$の$\lambda$-不変量は一致する。
• $\mathrm{Sel}_i(f/\mathbb{Q})$のコランクに加えて有限集合$\mathcal{S}_f$のサイズの和は、$\mathrm{Sel}_i(g/\mathbb{Q})$のコランクに加えて$|\mathcal{S}_g|$の和と、同じ偶性を持つ。
• 自明なネーベンティプスをもつモジュラー形式に対して、解析的ランクと$|\mathcal{S}_f|$の和は、$g$についても同様に同じ偶性を持つ。すなわち、$r_{\mathrm{an}}(f) + |\mathcal{S}_f| \equiv r_{\mathrm{an}}(g) + |\mathcal{S}_g| \pmod{2}$。
• 有限Galois $p$-拡大体上での符号付きセイバーグループの$\lambda$-不変量に対してKida型公式が成り立ち、Pollack-Westonの結果を一般化する。