[논문 리뷰] Autosolvability of halting problem instances for instruction sequences

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 26.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 지시어 시퀀스를 통해 튜링 기계 유사 행동을 모델링하는 프로그램 대수 프레임워크 내에서 정지 문제의 자가해결 가능성(auto-solvability)을 조사한다. 일부 정지 문제 인스턴스는 결정 가능하나, 모든 인스턴스를 하나의 프로그램이 해결해야 한다는 요구는 논리적 모순을 야기하며, 이는 프로그램 중심 시각에서 일반 정지 문제의 결정 불가능성을 강화한다.

ABSTRACT

We position Turing's result regarding the undecidability of the halting problem as a result about programs rather than machines. The mere requirement that a program of a certain kind must solve the halting problem for all programs of that kind leads to a contradiction in the case of a recent unsolvability result regarding the halting problem for programs. In this paper, we investigate this autosolvability requirement in a setting in which programs take the form of instruction sequences.

연구 동기 및 목표

• 튜링의 정지 문제에 대한 결정 불가능성 결과를 기계가 아닌 프로그램의 성질로 재구성하기 위해.
• 지시어 시퀀스 모델 내에서 동일한 종류의 프로그램이 모든 프로그램의 정지 문제를 해결할 수 있는지 가능성—즉, '자가해결 가능성'—을 분석하기 위해.
• 계산 및 정지 행동을 모델링하기 위해 튜링 기계 테이프 유사 기능 단위의 역할을 조사하기 위해.
• 프로그램 대수 의미론 하에서 정지 문제 인스턴스의 결정 가능성과 결정 불가능성의 경계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 지시어 시퀀스를 모델링하기 위해 부울 종료 지시어(!t, !f)와 점프 지시어를 갖는 프로그램 표기법 PGLBbt를 사용한다.
• 기본 스레드 대수를 활용하여 지시어 시퀀스의 실행 하에서의 행동을 형식적으로 정의한다.
• 외부 장치인 튜링 기계 테이프 유사 기능 단위를 도입하여 지시어 시퀀스와의 상호작용을 가능하게 한다.
• 기본 스레드 대수에 서비스 상호작용을 위한 연산자를 도입하여, 특히 테스트 및 점프 지시어 처리에 특화한다.
• 특정 정지 문제 인스턴스가 동일한 종류의 프로그램에 의해 자가해결될 수 없음을 보이기 위해 대각선화 기법을 적용한다.
• 특정 기능 단위 의미론 하에서 복잡한 지시어 시퀀스를 유한한 등가 형태로 감소시켜 결정 가능성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 종류의 프로그램이 모든 프로그램의 정지 문제를 해결할 수 있는가, 즉 자가해결 가능성은 가능한가?
• RQ2 지시어 시퀀스 프로그램에서 정지 문제가 어떤 조건에서 결정 가능해지는가?
• RQ3 튜링 기계 테이프를 모델링하는 기능 단위는 지시어 시퀀스의 해법 가능성과 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 프로그램 기반 정지 문제 맥락에서 대각선화와 결정 가능성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 정지 문제는 고정된 지시어 수로 제한될 수 있으며, 이러한 경우에 결정 가능성이 있는가?

주요 결과

• 기능 단위 H = {(dup, Dup)}에 대해 언어 L(f.{dup})의 정지 문제는 대각선화 증명에 의해 모순을 초래하므로 잠재적인 자가해결이 불가능하다.
• 자기해결 가능성의 부재에도 불구하고, L(f.{dup})의 정지 문제는 종료 가능성이 검증 가능한 유한 형태로 감소할 수 있으므로 결정 가능하다.
• 논문은 대각선화와 결정 가능성이 독립적인 현상임을 입증한다: 개별 인스턴스가 결정 가능하더라도 자가해결 가능성 제약으로 인해 문제 전체가 결정 불가능해질 수 있다.
• 기능 단위의 사용은 외부 장치를 정확하게 모델링할 수 있게 하여 프로그램 행동과 정지 조건의 형식적 분석을 가능하게 한다.
• 기존 결과를 강화하여, 결정 불가능성이 모델 자체의 특성 때문이 아니라 프로그램의 보편성에 대한 자기참조적 요구 때문임을 보여준다.
• 자원 제약 하에서 정지 문제의 유한한 형태—즉, 유한 정지 문제—는 향후 연구에 유망한 방향으로 식별되었으며, 이 경우 결정 가능성이 가능할 것으로 제안된다.