[論文レビュー] Behaviour of the order of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves

Andrzej Dąbrowski, Lucjan Szymaszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℚ 上の楕円曲線の二次歪みにおけるTate-Shafarevich群の位数の分布を調査し、固定された E と k に対して、|X(E_d)| = k² となる歪みの数が、c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)} として漸近的に増加するとする予想を提示している。広範な数値的証拠が提供されており、特に、|X(E)| > 63,408² となるランクゼロの楕円曲線として 88 例の新しい例が発見され、|X(E)| = 1,029,212² という記録を更新した。

ABSTRACT

We present the results of our search for the orders of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves. We formulate a general conjecture, giving for a fixed elliptic curve $E$ over $\Bbb Q$ and positive integer $k$, an asymptotic formula for the number of quadratic twists $E_d$, $d$ positive square-free integers less than $X$, with finite group $E_d(\Bbb Q)$ and $|\Sha(E_d(\Bbb Q))| = k^2$. This paper continues the authors previous investigations concerning orders of Tate-Shafarevich groups in quadratic twists of the curve $X_0(49)$. In section 8 we exhibit $88$ examples of rank zero elliptic curves with $|\Sha(E)| > 63408^2$, which was the largest previously known value for any explicit curve. Our record is an elliptic curve $E$ with $|\Sha(E)| = 1029212^2$.

研究の動機と目的

• ℚ 上の楕円曲線の二次歪みにおけるTate-Shafarevich群の位数の分布を調査すること。
• X₀(49) に関する以前の数値的研究を、複素乗乗性を有する2つとそうでない2つの新しい楕円曲線へと拡張すること。
• 一般の漸近的予想を提示し、X(E_d) の指定された平方位数を持つ二次歪みの頻度について、証拠を提供すること。
• ランクゼロの楕円曲線におけるTate-Shafarevich群のサイズに関する新記録を確立すること。
• 特に奇数および4の倍数でない位数に関して、漸近式の係数の消失を探索すること。

提案手法

• 一般の漸近的予想を提示：|X(E_d)| = k² かつ L(E_d,1) ≠ 0 を満たす平方自由な d ≤ X の個数 f_E(k,X) に対して、f_E(k,X) ~ c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)} が成り立つと仮定する。
• 4つの楕円曲線（2つはCM、2つは非CM）の二次歪みについて、d ≤ 32×10⁹ まで広範な数値探索を実施した。
• Birch and Swinnerton-Dyer 予想を用いて、s=1 におけるL関数の非消滅が E(ℚ) の有限性および X(E_d) の平方位数と関係することを示した。
• Cohen-Lenstra のヒューリスティクスおよび中心L値の分布モデルを用いて、期待される漸近的挙動を裏付ける。
• φ および φ̂ を通じた同種写像に基づくセレマー群解析を用い、特定の条件下で X(E′_d)[2] が非自明であることを証明した。
• 大範囲の d における k² 位数の頻度を数値的に検証し、特定の k に対して c_k(E) が消失するかどうかを分析することで、予想の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された ℚ 上の楕円曲線 E に対して、|X(E_d)| = k² となる二次歪み E_d の漸近的頻度はどのようになるか（k は正の整数）。
• RQ2 特に複素乗乗性を有するか否かのクラスに分けた楕円曲線において、|X(E_d)| = k² の分布はどのように変化するか。
• RQ3 f_E(k,X) ~ c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)} という漸近式は、大範囲の d において数値的証拠によって支持されるか。
• RQ4 c_k(E) = 0 となる k の値は何か、そしてこれは X(E_d) の可能な位数にどのような意味を持つのか。
• RQ5 ℚ 上のランクゼロ楕円曲線におけるTate-Shafarevich群の最大の既知の位数は何か。

主な発見

• 著者らは、|X(E)| > 63,408² を満たすランクゼロ楕円曲線として、88例の新しい例を提示した。これは前回の記録を大幅に上回る。
• Tate-Shafarevich群の最大の既知の位数は、特定の楕円曲線 E に対して |X(E)| = 1,029,212² に達した。
• 数値的データは、c_{2m+1}(E_d²) = c_{2m+1}(E_d⁴) = c_{4m+2}(E_d²) = 0 であると強く示唆しており、これは奇数および4の倍数でない平方位数が漸近的頻度に現れないことを示している。
• 特定の楕円曲線 E′_d に対して、X(E′_d) の2進部分群が非自明であることを証明した。これは、特定の条件下で X(E′_d)[2] ≠ 0 であることを確認している。
• 著者らは、X₀(49) の二次歪みにおけるL値の統計的挙動とX群の位数の挙動が、新たに研究された4つの曲線に対しても成立することを確認した。
• データは、|X(E_d)| = k² となる歪みの数の漸近的増加率が X^{3/4}(log X)^{d_k(E)} によって支配され、特定の k に対して係数 c_k(E) が消失することを示唆している。