[論文レビュー] Birational aspects of the geometry of M_g

Gavril Farkas|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ が $g \geq 24$ に対して一般型であることを示す新しい証明を提供する。そのために、古典的なHurwitz除集合の代わりに $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上にKoszul除集合を導入し、Voisinによる一般型Green予想の証明と連接理論を用いることで、Hurwitzスタック上の複雑な数え上げ幾何学を回避する短く概念的な証明が得られる。

ABSTRACT

We discuss topics on the geometry of the moduli space of curves. We present a short proof of the Harris-Mumford theorem on the Kodaira dimension of the moduli space which replaces the computations on the stack of admissible covers by a simple study of tautological Koszul bundles on M_g. We also present a streamlined self-contained account of Verra's recent work on the unirationality of M_g. Finally, we discuss a proof that the moduli space of curves of genus 22 is of general type. Written for Surveys in Differential Geometry.

研究の動機と目的

• $\overline{\mathcal{M}}_g$ が $g \geq 24$ に対して一般型であることを示す、Harris-Mumfordの定理の新しい簡潔な証明を提供すること。
• 古典的なHurwitz除集合のアプローチを、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上のKoszul除集合の構成に置き換えること。
• canonical曲線の連接性に関するVoisinによる一般型Green予想の証明を活用し、canonicalクラスの計算を簡略化すること。
• 元々のHarris-Mumford証明の中心的役割を果たした可換被覆や極限線形系の使用を避けること。
• canonicalクラス $K_{\overline{\mathcal{M}}_g}$ がbig coneに属することを確立し、$g$ が十分に大きい場合の一般型性を確認すること。

提案手法

• $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上に、元々のHarris-Mumford証明で用いられたHurwitz除集合 $\mathcal{M}_{g,k}^1$ の代わりにKoszul除集合を導入すること。
• 特にVoisinによる一般型Green予想の証明を用いた、canonical曲線の連接性理論を活用し、Koszul除集合の幾何的性質を分析すること。
• ファイバー多様体および退化局所のチャーン類の公式を用いて、$\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_g)_{\mathbb{Q}}$ 内でのKoszul除集合の類を計算すること。
• Harris-Tuの定理を用いて、特に核バンドル $V$ 及びその双対バンドルに対して、$C \times W^2_{17}(C)$ 上のベクトルバンドルのチャーン数を計算すること。
• 退化局所 $Y$ 上での引き戻しとチャーン類を用いた公式 $\sigma^*(C^0) \cdot c_2(\mathcal{F} - \mathrm{Sym}^2(\mathcal{E}))$ を用いて交線数を導出すること。
• 関係式 $a - 12b_0 + b_1 = 0$ と既知の値を用いて $a$ と $b_0$ を解き、最終的に $s(\overline{\mathfrak{D}}_{22}) = a/b_0 < 13/2$ を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Harris-Mumfordの定理、すなわち $\overline{\mathcal{M}}_g$ が一般型であるという性質を、可換被覆や極限線形系を一切用いずに再証明することは可能か？
• RQ2 Koszul除集合と古典的なHurwitz除集合のcanonicalクラス計算における比較的性質は何か？
• RQ3 Voisinによる一般型Green予想の証明は、曲線のモジュライ空間におけるcanonicalクラス解析をどの程度簡略化できるか？
• RQ4 Koszul除集合 $\overline{\mathfrak{D}}_{22}$ の正確なスロープ $s(\overline{\mathfrak{D}}_{22})$ は何か？ そしてそれは一般型性とどのように関係しているか？
• RQ5 連接理論的アプローチのみを用いて、canonicalクラス $K_{\overline{\mathcal{M}}_g}$ がbig coneに属することを示せるか？

主な発見

• $\overline{\mathcal{M}}_g$ が $g \geq 24$ に対して一般型であることは、可換被覆や極限線形系の使用を回避する新しい証明によって確立された。
• Koszul除集合 $\overline{\mathfrak{D}}_{22}$ のスロープは $s(\overline{\mathfrak{D}}_{22}) = a/b_0 < 13/2$ を満たし、正であることが確認され、一般型性の結論を支持する。
• canonicalクラス $K_{\overline{\mathcal{M}}_g}$ は $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_g)_{\mathbb{Q}}$ のbig coneに属しており、これは高次の倍数 $K_{\overline{\mathcal{M}}_g}$ が次元の最大成長を示すことを意味する。
• 退化局所 $Y$ 上での $c_1(V)$, $c_2(\mathcal{F}_{|Y})$, $c_2(\mathcal{E}_{|Y})$ のチャーン類の計算により、交線数 $\sigma^*(C^0) \cdot c_2(\mathcal{F} - \mathrm{Sym}^2(\mathcal{E})) = 428\eta\theta\pi_2^*(c_2) - 536\eta\theta\pi_2^*(c_1^2) + \cdots + 592\eta\pi_2^*(c_1^3)$ が得られた。
• $42b_0 - b_1 = 509\theta^{21}/5364817920000$ および $a - 12b_0 + b_1 = 0$ を用いて $a$ と $b_0$ を計算し、$a/b_0 = 17121/2636 \leq 71/10$ が得られた。
• この結果により、$\overline{\mathcal{M}}_g$ が $g \geq 24$ に対して一般型であることが確認され、元々のHarris-Mumfordのアプローチよりも短く概念的に洗練された証明が得られた。