[論文レビュー] Boundary conditions as constraints

Juan M. Romero, J. David Vergara|Dec 3, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、境界を持つ量子場の理論におけるシンプレクティック構造を計算するための新規手法を提案する。境界を持つ元の系を、境界のない第二類制約を持つ等価な系に写像することで、ディラックの元来のアプローチにおける不整合（無限大の自由度の出現）を回避する。境界条件を逆ホログラフィー写像を用いて制約として扱うことで、スカラー場およびさまざまな境界条件（Dブレーン上の非可換構造を含む）における正確な結果を正確に再現する。

ABSTRACT

A new method to compute the symplectic structure of a quantum field theory with non trivial boundary conditions is proposed. Following the suggestion in \cite{ho:gnus, ardalan}, we regard that the boundary conditions are second class constraints in the sense of the Dirac's method. However, we show that this proposal is more useful if we consider an inverse of the Holographic map between a theory defined in the boundary to another with constraints but without boundary.

研究の動機と目的

• ディラック形式における境界条件の第二類制約としての取り扱いにおける不整合、特に無限大の自由度の出現を解消すること。
• 非自明な境界条件を有する量子場理論のシンプレクティック構造を体系的かつ一貫して計算するための方法を開発すること。
• 境界のない制約付き系から得られるディラック括弧が、元の境界影響を受ける理論の物理的シンプレクティック構造と等価であることを示すこと。
• スカラー場におけるノイマン／ディリクレ条件および混合およびPP波背景を有するボソン的ストリングの例を含め、複数の例にわたって手法の妥当性を検証すること。
• 特にDブレーンやブラックホールの事象の地平線のような非自明な境界設定において、先行研究の制限を克服する一貫した枠組みを提供すること。

提案手法

• 境界条件を有する量子場理論を、境界のないが第二類制約を有する等価な理論に写像する。
• 逆ホログラフィー写像を用いて、元の境界問題を体内の制約付き系に関連づけ、物理的シンプレクティック構造を保存する。
• 制約付きで境界のない系においてディラック括弧を計算し、その空間領域への射影により、元の理論の正しいシンプレクティック構造が回復されることを示す。
• 従来の不適切な実装とは異なり、制約の時間発展を通じて一貫性を保証することで、ラグランジュ乗数の手動による修正を回避する。
• 正確なモード展開を用いて、ディリクレおよびノイマン条件を有するスカラー場および混合およびPP波境界条件を有するボソン的ストリングにこの手法を適用する。
• 射影されたディラック括弧と正確な解との比較により、すべてのテストケースで完全に一致することを確認することで、妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件を量子場理論において第二類制約として一貫して取り扱うことは可能か？ その際、物理的でない自由度が導入されないか？
• RQ2 提案された逆ホログラフィー写像構成は、境界が影響を及える場の理論における正確な解と等価なシンプレクティック構造を生成するか？
• RQ3 ラグランジュ乗数を手動で固定することで生じる、無限大の制約に起因する不整合は、この手法によってどのように解消されるか？
• RQ4 この手法は、B場を有するDブレーン上の既知の非可換構造を、制約付き場の理論枠組みから体系的に再現できるか？
• RQ5 この手法は、混合およびPP波背景を含む、さまざまな場の理論および境界条件に普遍的に適用可能か？

主な発見

• 制約付きで境界のない系から射影されたディラック括弧は、境界を持つ元の理論の正準シンプレクティック構造を正確に再現する。これは、ディリクレおよびノイマン条件を有するスカラー場の例で確認された。
• 混合境界条件を有するスカラー場の場合、この手法は正則でない境界の交換関係 $\{\phi_i(\pm\pi,t), \phi_j(\pm\pi,t)\} = \pm (M^{-1}T)_{ij} $ を正しく捉え、正準形式では存在しない。
• 混合境界条件を有するボソン的ストリングの場合、この手法は正しいポisson括弧 $\{\phi_i(x,t), \Pi_j(x',t)\} = \delta_{ij}\delta(x-x')$ を再現し、正確な解と一貫していることを確認する。
• PP波背景の場合、この手法は一貫した結果をもたらすが、直接的な制約の導入に基づく従来の手法は失敗する。非自明な幾何における優位性を示している。
• 従来の実装で見られた物理的でない制約の増加および無限大の自由度を回避する。
• すべてのテストケースにおいて、射影されたディラック括弧と正確な解との一致は、逆ホログラフィー写像が境界付きシンプレクティック構造を計算するための信頼できる道具であることを確認する。