[论文解读] Bounds on the dynamics and entanglement in a periodic quantum walks

N. Pradeep Kumar, Radhakrishna Balu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文研究了使用时间依赖的币操作参数为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的周期性离散时间量子行走。通过解析和数值方法证明，行走位置分布的标准差被单参数行走的标准差的最小值所限制，即 $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$，并将该边界推广至更高周期和分步量子行走。研究进一步揭示了即使在非零 $\theta$ 情况下，动力学中仍存在非平凡的干涉效应，使得在非相对论性框架下可恢复无质量狄拉克方程，并分析了币空间与位置空间之间的纠缠。

ABSTRACT

We study the dynamics of discrete-time quantum walk using quantum coin operations, $\hat{C}( heta_1)$ and $\hat{C}( heta_2)$ in time dependent periodic sequence. For two-period quantum walk with the parameters $ heta_1$ and $ heta_2$ in the coin operations we show that the standard deviation ($\sigma_{ heta_1, heta_2} (t)$) is same as the minimum of standard deviation obtained from one of the one-period quantum walk with coin operations $ heta_1$ or $ heta_2$, $\sigma_{ heta_1, heta_2}(t) = \min \{\sigma_{ heta_1}(t), \sigma_{ heta_2}(t) \}$. Our numerical result is analytically corroborated using the dispersion relation obtained from the continuum limit of the dynamics. Using the dispersion relation for one- and two-period quantum walk, we present the bounds on the dynamics of three- and higher period quantum walks. We also show that the bounds for the two-period quantum walk will hold good for the split-step quantum walk which is also defined using two coin operators using $ heta_1$ and $ heta_2$. Unlike the previous known connection of discrete-time quantum walks with the massless Dirac equation where coin parameter $ heta=0$, here we show the recovery of massless Dirac equation with non-zero $ heta$ parameters contributing to the intriguing interference in the dynamics in a totally non-relativistic situation. We also present the effect of periodic sequence on the entanglement between coin and position space.

研究动机与目标

• 理解在具有两个不同参数 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的时间周期性币操作下，离散时间量子行走的动力学行为。
• 为两周期量子行走中行走位置分布的标准差推导出解析边界。
• 将这些边界扩展至更高周期量子行走以及分步量子行走模型。
• 研究在非零 $\theta$ 参数下，相对论性类似动力学（如无质量狄拉克方程）如何在非相对论性量子行走框架中出现。
• 分析周期性币序列下币与位置自由度之间的纠缠。

提出的方法

• 使用时间依赖的币操作 $\hat{C}(\theta_1)$ 和 $\hat{C}(\theta_2)$ 交替作用，形式化两周期量子行走。
• 从行走演化过程的连续极限推导色散关系，以分析渐近动力学。
• 利用色散关系为两周期行走建立标准差 $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t)$ 的边界。
• 通过从两周期情形的解析外推，将推导出的边界扩展至三周期及更高周期量子行走。
• 将相同框架应用于分步量子行走，该模型按顺序使用两个不同的币算符。
• 分析币与位置希尔伯特空间之间的纠缠熵，以评估周期性币序列所诱导的量子关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 两周期量子行走的标准差如何依赖于币参数 $\theta_1$ 和 $\theta_2$？
• RQ2 是否可以利用其组成部分的一周期行走的动力学来约束更高周期行走的动力学？
• RQ3 在非零 $\theta$ 参数的离散时间量子行走中，无质量狄拉克方程在何种条件下会出现？
• RQ4 周期性币操作序列如何影响币与位置自由度之间的纠缠？
• RQ5 尽管缺乏相对论对称性，当 $\theta \neq 0$ 时，行走动力学中的干涉效应在多大程度上仍然存在？

主要发现

• 两周期量子行走的标准差被其单参数行走标准差的最小值所限制：$\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$。
• 该边界通过从行走演化连续极限推导出的色散关系得到解析验证。
• 从两周期动力学推导出的边界通过解析延拓扩展至三周期及更高周期量子行走。
• 使用两个不同币算符的分步量子行走满足与两周期行走相同的标淮差边界。
• 即使在非零 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 情况下，无质量狄拉克方程在连续极限下仍可被恢复，表明在非相对论性框架中存在非平凡的干涉效应。
• 周期性币操作序列调制了币与位置空间之间的纠缠，表明可对量子关联实现可调控制。