[论文解读] BRIDGELAND MODULI SPACES AND KUZNETSOV'S FANO THREEFOLD CONJECTURE

Shizhuo Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文研究了特殊 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}$ 上的 Bridgeland 模空间与扭三次曲线的 Hilbert 模空间，表明对于一般的 $X_{10}$，Hilbert 模空间是光滑且不可约的，但其他情况下则为奇异的。本文构建了一个作为该 Hilbert 模空间的除子性收缩的 Bridgeland 稳定模空间，并将普通 Gushel-Mukai 三复形上圆锥曲线的 Fano 曲面的极小模型与另一个此类模空间相联系，最终推翻了 Kuznetsov 的 Fano 三复形猜想。

ABSTRACT

We study the Hilbert scheme $\mathcal{H}$ of twisted cubics on a special smooth Gushel-Mukai threefolds $X_{10}$. We show that it is a smooth irreducible projective threefold if $X_{10}$ is general among special Gushel-Mukai threefolds, while it is singular and irreducible if $X_{10}$ is not general. We construct an irreducible component of a moduli space of Bridgeland stable objects in the Kuznetsov component of $X_{10}$ as a divisorial contraction of $\mathcal{H}$. We also identify the minimal model of Fano surface $\mathcal{C}(X_{10}')$ of conics on a smooth ordinary Gushel-Mukai threefold with an irreducible component of a moduli space of Bridgeland stable objects in the Kuznetsov component of $X_{10}'$. As a result, we show that the Kuznetsov's Fano threefold conjecture is not true

研究动机与目标

• 分析特殊 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}$ 上扭三次曲线 Hilbert 模空间的几何性质，特别是其光滑性与不可约性。
• 在 $X_{10}$ 的 Kuznetsov 分量中，利用 Bridgeland 稳定性条件构造稳定对象的模空间，将其作为 Hilbert 模空间的除子性收缩。
• 将普通 Gushel-Mukai 三复形上圆锥曲线的 Fano 曲面的极小模型与 $X_{10}'$ 的 Kuznetsov 分量中一个 Bridgeland 模空间的分量相联系。
• 通过几何与稳定性理论方法，检验并最终推翻 Kuznetsov 的 Fano 三复形猜想。

提出的方法

• 研究 $X_{10}$ 上扭三次曲线的 Hilbert 模空间 $\mathcal{H}$，根据 $X_{10}$ 的一般性来判断其奇点与不可约性。
• 利用 Bridgeland 稳定性条件，在 $X_{10}$ 的 Kuznetsov 分量中构造稳定对象的模空间，将其实现为 $\mathcal{H}$ 的除子性收缩。
• 分析普通 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}'$ 的 Kuznetsov 分量，将其中圆锥曲线的 Fano 曲面与一个 Bridgeland 模空间的分量相联系。
• 应用极小模型程序技术，将圆锥曲线的 Fano 曲面与 Bridgeland 模空间联系起来，建立双有理等价关系。
• 运用导出范畴技术与稳定性条件，比较 $X_{10}$ 与 $X_{10}'$ 中的几何对象及其对应的模空间。
• 利用 Fano 三复形与其 Kuznetsov 分量之间预期的导出等价性失败作为 Kuznetsov 猜想的主要障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，特殊 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}$ 上扭三次曲线的 Hilbert 模空间是光滑且不可约的？
• RQ2 能否将 $X_{10}$ 的 Kuznetsov 分量中对象的 Bridgeland 稳定模空间构造为扭三次曲线 Hilbert 模空间的除子性收缩？
• RQ3 普通 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}'$ 上圆锥曲线的 Fano 曲面的极小模型是否双有理等价于 $X_{10}'$ 的 Kuznetsov 分量中一个 Bridgeland 模空间的分量？
• RQ4 此类双有理对应的存在是否意味着 Kuznetsov 的 Fano 三复形猜想存在反例？
• RQ5 导出范畴与稳定性条件在阻碍 Fano 三复形与其 Kuznetsov 分量之间预期的导出等价性中起什么作用？

主要发现

• 当 $X_{10}$ 是特殊 Gushel-Mukai 三复形中的一般情形时，$X_{10}$ 上扭三次曲线的 Hilbert 模空间 $\mathcal{H}$ 是光滑且不可约的。
• 对于非一般情形的 $X_{10}$，Hilbert 模空间 $\mathcal{H}$ 是奇异的，但仍不可约。
• 在 $X_{10}$ 的 Kuznetsov 分量中，构造了一个 Bridgeland 稳定模空间的不可约分量，其作为 $\mathcal{H}$ 的除子性收缩。
• 普通 Gushel-Mukai 三复形 $X_{10}'$ 上圆锥曲线的 Fano 曲面的极小模型被识别为 $X_{10}'$ 的 Kuznetsov 分量中一个 Bridgeland 模空间的不可约分量，从而建立了双有理等价关系。
• 几何与稳定性理论的构造提供了一个 Kuznetsov 的 Fano 三复形猜想的反例，表明该猜想在一般情况下不成立。