[論文レビュー] Catalytic quantum error correction

Todd A. Brun, Igor Devetak+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、事前に共有された量子もつれを利用する事で、双対包含条件の必要性を排除する、安定化子コードの一般化としてのもつれ支援量子エラー訂正（EAQEC）符号を導入する。著者らは、任意の四元体古典符号がEAQEC符号に変換可能であることを示し、効率的な古典符号（例：LDPC符号やトレューボ符号）を直接量子符号の構築に応用可能にすることで、ハッシング限界に到達する量子符号の設計を著しく簡素化するとともに、触媒型量子エラー訂正を可能にする。

ABSTRACT

We develop the theory of entanglement-assisted quantum error correcting (EAQEC) codes, a generalization of the stabilizer formalism to the setting in which the sender and receiver have access to pre-shared entanglement. Conventional stabilizer codes are equivalent to dual-containing symplectic codes. In contrast, EAQEC codes do not require the dual-containing condition, which greatly simplifies their construction. We show how any quaternary classical code can be made into a EAQEC code. In particular, efficient modern codes, like LDPC codes, which attain the Shannon capacity, can be made into EAQEC codes attaining the hashing bound. In a quantum computation setting, EAQEC codes give rise to catalytic quantum codes which maintain a region of inherited noiseless qubits. We also give an alternative construction of EAQEC codes by making classical entanglement assisted codes coherent.

研究の動機と目的

• 事前に共有されたもつれを組み込むことで、安定化子形式を一般化し、新たなクラスの量子エラー訂正符号を導く。
• 従来の安定化子コードに必要な双対包含条件を排除することで、量子符号の構築を簡素化する。
• もつれ支援量子通信の「ファーザー」プロトコルをたどることで、量子エラー訂正と量子シャノン理論の間に接続を確立する。
• 故障に強く、計算中にノイズレスな量子ビット領域を維持する触媒型量子エラー訂正符号を開発する。
• もつれ支援古典符号の理論を拡張し、その整合性を示し、量子および古典通信プロトコルを統一的に取り扱えるようにする。

提案手法

• 四元体 $\mathbb{F}_4$ 上の古典符号に基づいて定義される、パウリ群上のシンプレクティック代数を用いてEAQEC符号を形式化し、双対包含構造を必要としない。
• 任意の四元体古典符号から、それをシンプレクティック符号に写像することでEAQEC符号を構築し、双対包含度合いが必要なもつれ量を定量化する。
• 新しいEAQEC符号の構成法を導入し、$[[n,k,d;c]]$ 表記を用いる。ここで $c$ は事前に共有されたベル状態の数を表す。
• パuncturing（短縮）と拡張技術を用いて、既存のEAQEC符号から新たな符号を生成し、距離とレートを維持または向上させる。
• EAQEC符号が、計算中にノイズレスな量子ビット領域を維持する触媒型量子エラー訂正符号を構築可能であることを示す。
• もつれ支援古典符号（EACEC）が整合的（coherent）に構築可能であり、EAQEC構築法の代替手段を提供するとともに、量子容量の家族図に接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化子形式は、事前に共有されたもつれを組み込むことで一般化可能であり、双対包含条件の緩和が可能か？
• RQ2 特にLDPCのような容量を達成する現代の古典エラー訂正符号は、もつれ支援を用いることでどの程度量子符号に適応可能か？
• RQ3 EAQEC符号は、故障に強く、計算中にノイズレスな量子ビット領域を維持する触媒型量子エラー訂正符号を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ4 もつれ支援古典符号は整合的（coherent）に構築可能か？また、これはより広範な量子シャノンプロトコルの家族図とどのように関係するか？
• RQ5 EAQEC符号において、触媒サイズ（もつれコスト）と符号性能のトレードオフは何か？また、標準QEC符号と比較してどうなるか？

主な発見

• 任意の四元体古典符号をEAQEC符号に変換可能であり、双対包含構造の必要性を回避することで、構築を著しく簡素化する。
• EAQEC符号は、シャノン容量に到達する古典符号（例：LDPC符号）から構築された場合、ハッシング限界に到達可能である。
• 距離が4の$[[8,0,4;0]]$符号は、$[[7,1,3;0]]$符号を拡張することで構築され、新しい構築法において距離が増加することを示している。
• $[[n,k,d;c]]$ 符号をパuncturingすると、$[[n-1,k-c+c'+1,d-1;c']]$ 符号が得られ、距離は最大で1減少する。これにより、符号レートの最適化が可能になる。
• EAQEC符号は、計算中にノイズレスな量子ビット領域を維持する触媒型量子エラー訂正を可能にし、故障に強い動作を実現する。
• もつれ支援古典符号（EACEC）は整合的（coherent）に構築可能であり、ファーザー・プロトコルへの代替ルートを提供するとともに、古典および量子通信プロトコルを統一的に扱える。