[论文解读] Caterpillars in Erd\H{o}s-Hajnal

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文证明了每个叶状细分图均满足稀疏强Erdős-Hajnal性质：在任意 $T$-自由图中，要么存在一个度数为线性的顶点，要么存在两个大的互不邻接集合。这表明，排除了某棵叶状细分图及其补图的图中必然包含多项式大小的团或稳定集，从而将此前针对路径和钩子图的结果推广至更广泛的树类。

ABSTRACT

Let $T$ be a tree such that all its vertices of degree more than two lie on one path, that is, $T$ is a caterpillar subdivision. We prove that there exists $\\epsilon>0$ such that for every graph $G$ with $|V(G)|\\ge 2$ not containing $T$ as an induced subgraph, either some vertex has at least $\\epsilon|V(G)|$ neighbours, or there are two disjoint sets of vertices $A,B$, both of cardinality at least $\\epsilon|V(G)|$, where there is no edge joining $A$ and $B$. A consequence is: for every caterpillar subdivision $T$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither of $T$ and its complement as an induced subgraph, $G$ has a clique or stable set with at least $|V(G)|^c$ vertices. This extends a theorem of Bousquet, Lagoutte and Thomass\\'e [JCTB 2015], who proved the same when $T$ is a path, and a recent theorem of Choromanski, Falik, Liebenau, Patel and Pilipczuk [Electron. J. Combin. 2018], who proved it when $T$ is a "hook".

研究动机与目标

• 建立所有叶状细分图的稀疏强Erdős-Hajnal性质。
• 将关于路径和钩子图的先前结果推广至更广义的树类。
• 证明排除某棵叶状细分图及其补图的图中必然包含多项式大小的团或稳定集。
• 通过质量实现与 $\tau$-蝴蝶图结构，构建分析 $T$-自由图的结构框架。
• 解决关于叶状细分图的对称强EH性质图的刻画的一个猜想。

提出的方法

• 将 $\tau$-蝴蝶图定义为一条由 $\tau+1$ 个顶点构成的主干，且在主干最后一个顶点上附着 $\tau$ 个叶子的树。
• 引入图 $G$ 中树 $N$ 的 $\kappa$-实现概念，即顶点集覆盖邻居且诱导出连通子图。
• 使用一系列 $\tau$-育婴室 $N_0, \dots, N_q$ 迭代改进实现，追踪质量与连通分量数量。
• 应用递归质量分配方案，其中 $\kappa_i = 2^{-i}p^{-1} - (\tau+2)\epsilon$，以控制集合大小并确保充分的质量分布。
• 证明若 $T$-自由图存在 $\kappa_p$-实现的 $\tau$-蝴蝶图，则可通过诱导子图构造导出矛盾。
• 利用Rödl定理将稀疏强EH性质与对称强EH性质联系起来，从而得出主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有叶状细分图是否均满足稀疏强Erdős-Hajnal性质？
• RQ2 能否为排除某棵叶状细分图及其补图的图建立对称强Erdős-Hajnal性质？
• RQ3 对 $T$ 的何种结构条件可保证 $T$-自由图中存在高阶邻接顶点或两个大的互不邻接集合？
• RQ4 如何利用质量实现与树状结构（如 $\tau$-蝴蝶图）来分析诱导子图自由性？
• RQ5 若 $T$-自由图中不存在 $\tau$-蝴蝶图的实现，是否意味着图的连通性与连通分量结构受到结构性约束？

主要发现

• 对每个叶状细分图 $T$，存在 $\epsilon > 0$，使得任意 $T$-自由图 $G$ 要么包含一个度数至少为 $\epsilon |V(G)|$ 的顶点，要么包含两个满足 $\mu(A), \mu(B) \geq \epsilon$ 的互不邻接集合 $A, B$。
• 当 $\tau$ 适合 $T$ 时，$\tau$-蝴蝶图在任何 $T$-自由图中均不可实现 $\kappa$-实现，这是矛盾论证的关键。
• 构造确保 $\kappa_p = \epsilon$，且 $\kappa_i$ 的序列保证 $p \geq 2^{\tau^2}$，从而控制连通分量数量。
• 任意 $\tau$-育婴室 $N_q$ 的最大连通分量数受 $p - q$ 限制，且由于 $q \leq p-1$，故 $N_q$ 最多只有一个连通分量。
• 最终矛盾源于 $\phi(N_q) \geq 2p$，但 $N_q$ 的顶点数最多为 $\tau^2 - \tau + 1$，这对大 $p$ 来说不可能成立。
• 该结果表明，对任意两棵叶状细分图 $H$ 和 $J$，任意同时为 $H$-自由与 $\overline{J}$-自由的图 $G$，必包含大小至少为 $|V(G)|^c$ 的团或稳定集，其中 $c > 0$。