[論文レビュー] Chaos, Dirac observables and constraint quantization

Bianca Dittrich, Philipp A. Hoehn+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 97被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論におけるカオスが微分可能なディラック観測可能量と滑らかな還元された位相空間の存在を損なうとしており、標準的な量子化手法の無効化を示している。本稿では、配置空間の位相を精緻化することで、一般化された観測可能量の連続性を回復させ、量子理論を一貫して構築できるポリマー量子化を提案している。これは、カオス的系に対しても有効である。

ABSTRACT

There is good evidence that full general relativity is non-integrable or even chaotic. We point out the severe repercussions: differentiable Dirac observables and a reduced phase space do not exist in non-integrable constrained systems and are thus unlikely to occur in a generic general relativistic context. Instead, gauge invariant quantities generally become discontinuous, thus not admitting Poisson-algebraic structures and posing serious challenges to a quantization. Non-integrability also renders the paradigm of relational dynamics cumbersome, thereby straining common interpretations of the dynamics. We illustrate these conceptual and technical challenges with simple toy models. In particular, we exhibit reparametrization invariant models which fail to be integrable and, as a consequence, can either not be quantized with standard methods or lead to sick quantum theories without a semiclassical limit. These troubles are qualitatively distinct from semiclassical subtleties in unconstrained quantum chaos and can be directly traced back to the scarcity of Dirac observables. As a possible resolution, we propose to change the method of quantization by refining the configuration space topology until the generalized observables become continuous in the new topology and can acquire a quantum representation. This leads to the polymer quantization method underlying loop quantum cosmology and gravity. Remarkably, the polymer quantum theory circumvents the problems of the quantization with smooth topology, indicating that non-integrability and chaos, while a challenge, may not be a fundamental obstruction for quantum gravity.

研究の動機と目的

• 非可積分性およびカオスが制約付き系、特に完全一般相対性理論に与える影響を調査すること。
• カオス的力学によってディラック観測可能量が不連続化する場合、標準的量子化手法が失敗することを示すこと。
• 非可積分的・カオス的系では、関係的力学と物理的解釈が破綻することを示すこと。
• 配置空間の位相を精緻化することで、観測可能量の連続性を回復させ、一貫した量子理論を可能にするポリマー量子化を有効な代替手法として提案すること。
• カオスが標準的手法にとって問題である一方で、配置空間の位相を精緻化すれば、量子重力が妨げられることはないことを確立すること。

提案手法

• 非可積分的かつカオス的挙動を示す再パラメータ化不変性を持つ玩具モデルの分析。
• カオス的系における滑らかなディラック観測可能量およびポisson代数的構造の崩壊の同定。
• 一般化された観測可能量を連続にするために、配置空間の位相を精緻化する手法の導入。
• すでにループ量子宇宙論および量子重力で用いられているポリマー量子化法を、精緻化された位相アプローチの具現化として適用。
• 標準的ディラック量子化とポリマー量子化を比較し、後者がカオス的系において前者の失敗モードを回避することを示すこと。
• 制約解の解法をカオス的領域で扱うために、擬似制約や測度を変更した経路積分量子化といった代替手法の検討。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論におけるカオスは、ディラック観測可能量の存在と連続性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 なぜ標準的正準量子化手法は、非可積分的・カオス的制約付き系では失敗するのか？
• RQ3 カオスおよび不連続観測可能量が存在する状況でも、関係的力学と物理的解釈は維持可能か？
• RQ4 ポリマー量子化は、不連続な観測可能量や定義されない半古典的極限の問題を効果的に解決できるか？
• RQ5 非可積分性は、量子重力における経路積分および有効場理論的手法にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一般相対性理論における非可積分的・カオス的系には、微分可能なディラック観測可能量と滑らかな還元位相空間が存在せず、標準的量子化フレームワークが無効化される。
• カオス的系におけるゲージ不変量は不連続化し、ポisson代数的構造を破壊し、一貫した量子表現を不可能にする。
• 無限大の時間間隔にわたるエルゴード平均が生じるため、関係的力学と物理的遷移振幅は従来の解釈を失う。
• ポリマー量子化により配置空間の位相が精緻化され、一般化された観測可能量の連続性が回復され、明確な量子理論が可能になる。
• ポリマー量子化法は、標準的量子化がカオス的系で直面する問題を効果的に回避し、量子重力への有効な道筋を提供する。
• 擬似制約や測度を変更した経路積分といった代替手法は、補完的な知見を提供する可能性があるが、その完全な整合性はまだ確立されていない。