[論文レビュー] Chromodynamics and Gravity as Theories on Loop Space

R. Loll|ArXiv.org|Sep 10, 1993

Mathematics and Applications参考文献 104被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、量子色力学（QCD）および一般相対性理論を、ホロノミーに基づく変数を用いてループ空間上に定義されたゲージ理論および重力理論として再定式化する。これにより、両理論が共通の幾何学的・代数的枠組みを有することを明らかにし、深い数学的構造が露わになる。

ABSTRACT

We review some attempts of reformulating both gauge theory and general relativity in terms of holonomy-dependent loop variables. The emphasis lies on exhibiting the underlying mathematical structures, which often are not given due attention in physical applications. An extensive list of references is included.

研究の動機と目的

• ホロノミーに基づくループ変数を用いて、量子色力学および一般相対性理論を再定式化すること。
• 物理的取り扱いではしばしば無視されがちな、ファイバー束、接続、ホロノミー写像などの背後にある数学的構造を強調すること。
• ループ空間形式の共通言語を通じて、ゲージ理論と重力理論の記述を統一すること。
• ホロノミー微分幾何学を用いて、ループ量子重力および非アーベルゲージ理論の厳密な基礎を提供すること。
• ループ量子重力および非アーベルゲージ理論の研究者を対象に、広範な引用を含む包括的参考文献を提供すること。

提案手法

• 従来のゲージポテンシャルおよび計量場の代わりに、ホロノミー写像を基本変数として用いる。
• ループ空間上の微分幾何学を用いて、ウィルソンループおよびその汎関数微分を記述する。
• ホロノミー微分計算を用いて、ループ空間上の変分原理から場の運動方程式を導出する。
• ベース多様体上のゲージ理論に類似した、ループ空間接続および曲率形式を導入する。
• ゲージ不変性および微分同相変換対称性を保つ、共変なループ空間形式を構築する。
• 主束理論および主接続に依拠し、ヤン・ミルズ作用およびアインシュタイン＝ヒルベルト作用をループ空間へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルゲージ理論、たとえばQCDは、局所場の代わりにループ変数を用いて一貫して定式化可能か？
• RQ2 ゲージ不変な重力理論の定式化を支えるループ空間の幾何的構造は何か？
• RQ3 アインシュタイン＝ヒルベルト作用とヤン・ミルズ作用は、ループ空間上のホロノミー汎関数として再定式化可能か？
• RQ4 量子重力およびゲージ理論を記述するための、ループ空間上での数学的前提条件（接続、曲率など）は何か？
• RQ5 微分同相変換およびゲージ対称性は、一般相対性理論およびQCDのループ空間定式化においてどのように現れるか？

主な発見

• 本論文は、ヤン・ミルズ理論および一般相対性理論が、ホロノミー依存変数を用いてループ空間上での理論として再定式化可能であることを確立している。
• 標準的なゲージおよび重力場の運動方程式を一般化する一貫性のあるループ空間接続および曲率形式が同定された。
• ホロノミー汎関数およびループ空間微分幾何学の使用により、ゲージ不変性および微分同相変換不変性が保たれている。
• 著者らは、標準的場の理論に類似した、ループ空間上の変分原理からゲージ理論および重力理論の力学を導出できることを示している。
• 本研究は、QCDと一般相対性理論がループ変数のレベルで、深い構造的類似性を有することを明らかにする統一的数学的枠組みを提供している。
• 広範な参考文献リストが理論的展開を裏付け、本研究をループ量子重力および非アーベルゲージ理論の文脈全体に位置づけている。