[論文レビュー] Collapsing behavior of Ricci-flat Kahler metrics and long time solutions of the Kahler-Ricci flow

Jian Song, Gang Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、射影多様体に半正則な標準束を備えた場合、正規化されたケーラー・リッチ・フローの長時間解に対して一様な直径上限を確立する。これは、標準モデル上のファイバー近辺で一様に有界なリッチ曲率のもとで成り立つ。Kodaira次元が1で一般ファイバーが複素トーラスである場合には、Gromov-Hausdorff収束を示し、Calabi-Yauファイブレーション上の収縮するリッチ平坦ケーラー計量が、基底の正則部におけるねじれケーラー・アインシュタイン計量の一意的メトリック完備化に収束することを示す。

ABSTRACT

We prove a uniform diameter bound for long time solutions of the normalized Kahler-Ricci flow on an $n$-dimensional projective manifold $X$ with semi-ample canonical bundle under the assumption that the Ricci curvature is uniformly bounded for all time in a fixed domain containing a fibre of $X$ over its canonical model $X_{can}$. This assumption on the Ricci curvature always holds when the Kodaira dimension of $X$ is $n$, $n-1$ or when the general fibre of $X$ over its canonical model is a complex torus. In particular, the normalized Kahler-Ricci flow converges in Gromov-Hausdorff topolopy to its canonical model when $X$ has Kodaira dimension $1$ with $K_X$ being semi-ample and the general fibre of $X$ over its canonical model being a complex torus. We also prove the Gromov-Hausdorff limit of collapsing Ricci-flat Kahler metrics on a holomorphically fibred Calabi-Yau manifold is unique and is homeomorphic to the metric completion of the corresponding twisted Kahler-Einstein metric on the regular part of its base.

研究の動機と目的

• 射影多様体に半正則な標準束を備えた場合、正規化されたケーラー・リッチ・フローの長時間解に対して一様な直径上限を確立すること。
• Kodaira次元が1で一般ファイバーが複素トーラスである場合、フローがGromov-Hausdorff位相で標準モデルに収束することを証明すること。
• 正則部分にねじれケーラー・アインシュタイン計量のメトリック完備化にホメオモルフィックである一意的なGromov-Hausdorff極限が、正則ファイブレーションを持つCalabi-Yau多様体上の収縮するリッチ平坦ケーラー計量の極限として得られることを示すこと。
• ケーラー・リッチ・フロー下での特異点形成と計量の崩壊を分析することで、解析的最小モデルプログラムを拡張すること。

提案手法

• n次元の射影多様体Xに正規化されたケーラー・リッチ・フローを適用し、∂g/∂t = -Ric(g) - g で定義される。
• ケーラー潜在関数φとその時間微分∂φ/∂tに対して一様L∞推定を適用し、体積形式ω(t)^n ≤ C e^{-(n-1)t} Ω を制御する。
• 特異ファイバーを除く領域で一様に有界なリッチ曲率のもとで相対体積比較を用い、標準モデル上のファイバーにおける直径推定を導出する。
• g(t) が標準モデルX_can^∘の正則部分におけるねじれケーラー・アインシュタイン計量g_canに収束することを用い、Ric(ω_can) = -ω_can + ω_WP が成り立つことを示す。
• メトリック完備化技術を用いて、(X_can^∘, g_can) の完備化が射影多様体X_canにホメオモルフィックであることを示す。
• (X_can^∘, g_can) の測地的凸性と、特異ファイバーを除く領域でg(t) がg_canに一様収束することを組み合わせ、ファイバーの直径と全直径の上限を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影多様体に半正則な標準束を備えた場合、正規化されたケーラー・リッチ・フローの長時間解に対して、一様な直径上限が成り立つ条件は何か？
• RQ2 Kodaira次元が1でファイバーがトーラスである多様体において、フローがGromov-Hausdorff位相で標準モデルに収束するのはどのような場合か？
• RQ3 正則ファイブレーションを持つCalabi-Yau多様体上での収縮するリッチ平坦ケーラー計量のGromov-Hausdorff極限の構造は何か？
• RQ4 標準モデルの正則部分におけるねじれケーラー・アインシュタイン計量のメトリック完備化は、標準モデル自体とどのように関係するか？

主な発見

• 標準モデル上のファイバーを含む固定領域でリッチ曲率が一様に有界である限り、半正則な標準束を備えた射影多様体上での正規化されたケーラー・リッチ・フローの長時間解に対して一様な直径上限が確立される。
• Kodaira次元が1で一般ファイバーが複素トーラスである場合、正規化されたケーラー・リッチ・フローはGromov-Hausdorff位相で標準モデルに収束する。
• 正則ファイブレーションを持つCalabi-Yau多様体上での収縮するリッチ平坦ケーラー計量のGromov-Hausdorff極限は一意的であり、基底の正則部分におけるねじれケーラー・アインシュタイン計量のメトリック完備化にホメオモルフィックである。
• X_can^∘ 上のねじれケーラー・アインシュタイン計量のメトリック完備化は、射影多様体X_canにホメオモルフィックであり、解析的最小モデルプログラムの主要予想を裏付ける。
• 任意のε > 0 に対して、δ > 0 と T > 0 が存在し、すべての t ≥ T に対して、標準ファイブレーションによる特異点のδ-近傍の逆像の直径がε未満である。
• t → ∞ のとき、X_can の正則点上のファイバーの直径は一様に0に収束し、フローは特異ファイバーを除く領域でC^0収束する。