[论文解读] Commuting elements in Galois groups of function fields

Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel|ArXiv.org|Dec 24, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 22

一句话总结

本文证明，函数域的pro-p伽罗瓦群中，若非循环阿贝尔子群能提升至下中央列的下一级，其必包含于某个非阿基米德赋值的约化赋值群中，并包含一个商为循环的惰性元子群。关键结果表明，此类子群源于赋值理论结构，确认了在阿贝尔几何中，提升的障碍仅存在于第一级非平凡层。

ABSTRACT

We study abelian subgroups of Galois groups of function fields.

研究动机与目标

• 理解函数域的伽罗瓦群的pro-p商中阿贝尔子群的结构。
• 确定此类子群在何时可被提升至下中央列的下一级中的阿贝尔子群。
• 表明此类可提升子群受赋值理论数据（特别是约化赋值群与惯性群）的约束。
• 确立提升障碍仅存在于群滤子的第一级非平凡层。

提出的方法

• 使用库默尔理论，将阿贝尔化中的元素解释为K^*模k^*上的取值于Z_p的对数函数。
• 将射影空间P(K) = K^*/k^*建模，并通过函数对研究从射影直线到仿射2-空间的映射。
• 应用对数性质，表明若函数可交换，则其在射影直线上的限制模常数必须线性相关。
• 引入阿贝尔旗函数（AF-函数）的概念，其对应于约化赋值群中的惯性元。
• 通过准则将问题约化至3维子空间：一个函数是AF-函数当且仅当其在每个3维子空间上的限制都是AF-函数。
• 使用反证法：假设在两个独立函数的Z_p张成空间中不存在AF-函数，进而导出一个取值于Z/2Z的函数h'，其在所有3维子空间上均违反AF条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，函数域的pro-p伽罗瓦群中的非循环阿贝尔子群可被提升至下中央列的下一级中的阿贝尔子群？
• RQ2 赋值在约束此类可提升阿贝尔子群结构中起何种作用？
• RQ3 K^*/k^*上的对数函数与伽罗瓦群中的惯性群和赋值群有何关联？
• RQ4 在函数可交换的条件下，能否保证在2维Z_p张成空间中存在AF-函数？
• RQ5 AF-函数在阿贝尔几何背景下的几何与算术意义为何？

主要发现

• Γ^a中能提升至Γ^c的非循环阿贝尔子群，必包含于某个非阿基米德赋值ν的约化赋值群Γ^a_ν中。
• 该子群包含一个I^a_ν中的惰性元子群F'，使得商群F/F'拓扑循环。
• 在两个可交换函数的Z_p张成空间中，AF-函数的存在性得到保证，且此类函数对应于某个赋值的惯性元。
• 对任意一对在Γ^a中线性无关并构成c-对的函数，存在一个赋值ν，使得该函数的Z_p张成空间包含于Γ^a_ν中，且其在1 + m_ν上的限制恒为零。
• 由这些函数生成的子群包含一个AF-函数的闭子群F'，使得F/F'拓扑循环，且F'对应于某个赋值的惯性子群。
• 每个可提升的非循环阿贝尔群均包含于某个约化赋值群中，并包含一个余维一的惰性元子群。