[論文レビュー] Complex Legendre duality

Bo Berndtsson, Dario Cordero–Erausquin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンpact複素多様体上のケーラー計量に対するルジャンドル変換の複雑な一般化を導入し、Mabuchi計量下での実解析的ケーラー潜在関数の近傍における局所等長対称性を定義する。主な貢献は、Mabuchi計量を保ち、固定点の近傍で対合（involution）として作用する双対写像の構成であり、Lempertの勾配写像等長性を拡張し、Semmesの複素モンジュ＝アンペール測度に関する研究における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We introduce complex generalizations of the classical Legendre transform, operating on Kähler metrics on a compact complex manifold. These Legendre transforms give explicit local isometric symmetries for the Mabuchi metric on the space of Kähler metrics around any real analytic Kähler metric, answering a question originating in Semmes' work.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上のケーラー潜在関数に対して、古典的ルジャンドル変換を複素幾何学へ一般化すること。
• 実解析的ケーラー潜在関数の近傍におけるMabuchi計量下でのケーラー計量空間への等長的対合の構成。
• SemmesのMabuchi計量および複素モンジュ＝アンペール測度に関する対称性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• ホロモルフィックシンプレクティック幾何学と生成関数を用いて、Lempertの勾配写像等長性を統一的かつ拡張すること。
• シンプレクティック変換を用いたホロモルフィック余接束上での幾何的実現を通じて、複素補間理論における双対性を提供すること。

提案手法

• 実解析的ケーラー潜在関数 φ の極化 φℂ(z,w) を用いて、複素ルジャンドル変換を定義する。ここで φℂ(z,w) は z に関して正則で、w に関しては反正則である。
• 変換を Lφ(ψ)(w) = supz [ -Dφ(z,w) - ψ(z) ] として構成する。ここで Dφ(z,w) = φ(z) + φ(w) - 2Re φℂ(z,w) はCalabiのダイアスタシス関数である。
• この変換が、C²位相における φ の近傍でMabuchi計量に関して等長であることを確立する。
• 生成関数 φℂ を用いて、ホロモルフィック余接束 T*(M) 上でのシンプレクティック写像として変換を同定することで、シンプレクティック幾何学を用いる。
• シンプレクティック変換が φℂ を介して定義されるとき、この変換が Lempert の一般化された勾配写像と一致することを示す。
• この変換が対合（Lφ² = id）であり、φ を固定点として持ち、固定点がケーラー潜在関数 φ に対応することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ルジャンドル変換は、ケーラー潜在関数の空間におけるMabuchi計量を保つような方法で、複素幾何学へ一般化可能か？
• RQ2 実解析的ケーラー潜在関数の近傍におけるケーラー計量空間に、凸解析におけるルジャンドル双対性に類似した局所等長的対合が存在するか？
• RQ3 Lempertの勾配写像等長性は、ホロモルフィックシンプレクティック幾何学と生成関数を用いて、任意の実解析的ケーラー潜在関数へどのように一般化されるか？
• RQ4 Calabiのダイアスタシス関数は、ケーラー計量上の双対変換を定義する際に果たす幾何的役割は何か？
• RQ5 Semmesが予想した ∂ψ のグラフ上の反正則的対合は、Mabuchi計量下での計量保存変換に関連しているか？

主な発見

• Calabiのダイアスタシス関数 Dφ(z,w) を用いて定義された複素ルジャンドル変換は、実解析的ケーラー潜在関数 φ のC²近傍でMabuchi計量に関して等長である。
• ψ が φ に十分近いとき、Lφ²(ψ) = ψ を満たし、これは変換が対合であり、φ がその唯一の固定点であることを確認する。
• φ(z) = |z|² のとき、この変換は古典的複素ルジャンドル変換に還元され、Lempertの勾配写像下での測度保存性を回復する。
• この変換は、ホロモルフィック余接束 T*(M) 上のシンプレクティック変換に対応し、φℂ(z,w) が生成関数として機能する。
• この構成により、Semmesが予想した ∂ψ のグラフ上の反正則的対合が、幾何的に実現され、Λψ から ΛLφ(ψ) への写像が得られる。
• Mabuchi計量はこの変換で保存されるため、Mabuchi計量下での測地線が測地線に写されることが保証され、複素補間理論における双対性原理を支持する。