[論文レビュー] Constant-Time Dynamic $(\Delta+1)$-Coloring and Weight Approximation for Minimum Spanning Forest: Dynamic Algorithms Meet Property Testing

Monika Henzinger, Pan Peng|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、(∆+1)-頂点彩色および(1+ε)-近似最小スパニングフォレスト（MSF）重みの両方について、定数の期待平均更新時間を持つ完全動的グラフアルゴリズムを初めて提示する。性質テスト技術を動的アルゴリズムに統合することで、彩色では最適なO(1)の更新時間、MSF重み近似では適応的敵対者に対しても部分対数時間の最悪ケース時間の達成が可能となり、長年の下界の障壁を克服した。

ABSTRACT

With few exceptions (namely, algorithms for maximal matching, $2$-approximate vertex cover, and certain constant-stretch spanners), all known fully dynamic algorithms in general graphs require (amortized) $\Omega(\log n)$ update/query time. Showing for the first time that techniques from property testing can lead to constant-time fully dynamic graph algorithms we prove the following results: (1) We give a fully dynamic (Las-Vegas style) algorithm with constant expected amortized time per update that maintains a proper $(\Delta+1)$-vertex coloring of a graph with maximum degree at most $\Delta$. This improves upon the previous $O(\log \Delta)$-time algorithm by Bhattacharya et al. (SODA 2018). We show that our result does not only have optimal running time, but is also optimal in the sense that already deciding whether a $\Delta$-coloring exists in a dynamically changing graph with maximum degree at most $\Delta$ takes $\Omega(\log n)$ time per operation. (2) We give two fully dynamic algorithms that maintain a $(1+\varepsilon)$-approximation of the weight $M$ of the minimum spanning forest of a graph $G$ with edges weights in $[1,W]$. Our deterministic algorithm takes $O({W^2 \log W}/{\varepsilon^3})$ worst-case time, which is constant if both $W$ and $\varepsilon$ are constant. This is somewhat surprising as a lower bound by Patrascu and Demaine (SIAM J. Comput. 2006) shows that it takes $\Omega(\log n)$ time per operation to maintain the exact weight of the MSF that holds even for $W=1$. Our randomized (Monte-Carlo style) algorithm works with high probability and runs in worst-case $O(\frac{1}{\varepsilon^4}\log^2(\frac{1}{\varepsilon}))$ time if $W= O({(m^*)^{1/3}}/{\log^3 n})$, where $m^*$ is the minimum number of edges in the graph throughout all the updates. It works even against an adaptive adversary.

研究の動機と目的

• 長年のΩ(log n)の平均更新時間下界を打ち破るために、性質テスト技術を活用すること。
• O(1)の期待平均更新時間で適切な(∆+1)-頂点彩色を維持する完全動的アルゴリズムを設計すること。これにより、従来のO(log ∆)の境界を改善する。
• パrameter制約の下で、(1+ε)-近似MSF重みを維持する完全動的アルゴリズムを開発すること。
• 性質テスト手法が、適応的敵対者を伴う状況でも実用的かつ最適な動的アルゴリズムを生み出せることを示すこと。
• 最大次数∆の動的グラフにおける∆-彩色可能性の判定問題が、本質的に1操作あたりΩ(log n)の時間が必要であることを確立し、新しい彩色アルゴリズムの最適性を証明すること。

提案手法

• 性質テストにインspiredされたサンプリングと局所的再彩色を用いる確率的動的アルゴリズムを導入。各フェーズで定数時間の静的アルゴリズムを用いて彩色を定期的に再計算する。
• フェーズベースの構造を採用。ε′Ψ/4回の更新ごとに、補題4.9の静的アルゴリズムを用いて彩色推定器を再計算し、加法的誤差が有界であることを保証する。
• 階層的サンプリング戦略を用いて、T(G) ≥ nis(G)を満たす条件下で、連結成分数ncc(G)の加法的誤差ε′·T(G)を推定する。動的推定器cを維持し、定期的にリセットする。
• グローバル再構築技術を適用してアルゴリズムの平均化を解消し、最悪ケース更新時間O(max{1, log(1/ε′) log(1/p)/ε′³T∗})を達成。ここでT∗はすべての更新におけるT(G)の最小値である。
• 性質テストアルゴリズムが、各フェーズで新規の乱数を再初期化することで動的設定に適応可能であるという事実を活用し、適応的敵対者に対しても耐性を持つ。
• パrameter化された静的アルゴリズム（補題4.9）を用い、各フェーズあたり定数時間でncc(Gnis)の(1±ε′/4)-近似を計算。その後、孤立頂点数を加算することでncc(G)を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質テスト技術を用いて、定数時間の更新時間を持つ完全動的グラフアルゴリズムを設計可能か？ これによりΩ(log n)の障壁を打ち破れるか？
• RQ2 最大次数∆の完全動的グラフにおいて、O(1)の期待平均更新時間で適切な(∆+1)-頂点彩色を維持することは可能か？
• RQ3 適応的敵対者に対しても、MSF重みの(1+ε)-近似を最悪ケース定数時間で維持することは可能か？
• RQ4 有界次数の動的グラフにおける∆-彩色可能性の判定の本質的複雑度は何か？
• RQ5 部分線形時間の性質テスト手法を、有界誤差と低更新コストを伴う動的グラフ不変量の維持にどのように適応できるか？

主な発見

• 本稿は、O(1)の期待平均更新時間を持つ完全動的(∆+1)-彩色アルゴリズムを提示し、従来のO(log ∆)の境界を改善した。
• 最大次数∆の動的変化するグラフにおける∆-彩色可能性の判定が、1操作あたりΩ(log n)の時間が必要であることを証明し、新しい彩色アルゴリズムの最適性を確立した。
• 決定的アルゴリズムは、Wとεが定数のとき、W² log W / ε³の最悪ケース時間でMSF重みの(1+ε)-近似を維持する。これは定数時間である。
• 確率的アルゴリズムは、高確率でW = O((m*)¹ᐟ³ / log³ n)のとき、最悪ケースO(1/ε⁴ log²(1/ε))の時間で更新を行う。ここでm*はすべての更新における最小エッジ数である。
• アルゴリズムは適応的敵対者に対しても機能する。各フェーズで新規の乱数ビットを使用し、フェーズ内での最悪ケース解析を実施している。
• 定期的な静的再計算と孤立頂点の動的追跡を組み合わせることで、連結成分数の推定において高確率で加法的誤差ε′·T(G)を達成した。