[論文レビュー] Constants of motion for fractional action-like variational problems

Gastão S. F. Frederico, Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィル積分を用いて、分数階作用類変分問題へのネーターの対称性定理の拡張を試み、非保存力を持つ系における新たな保存量を導出する。一般化されたネーター型定理を確立し、分数階数 α = 1 のときには古典的エネルギー保存則および運動量保存則に帰着する。

ABSTRACT

We extend Noether's symmetry theorem to the fractional Riemann-Liouville integral functionals of the calculus of variations recently introduced by El-Nabulsi.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウヴィル積分関数形を用いた分数階変分問題へのネーターの定理の一般化を目的とする。
• 非保存力が存在する系における古典的保存量の破綻を、分数階動力学を組み込むことで解決することを目的とする。
• 従来の保存則が成立しない分数階作用類フレームワークにおける保存量の明示的表現を導出することを目的とする。
• 分数階微積分を用いて、保存的および非保存的力学を1つのネーター型枠組みで統一することを目的とする。
• 分数階数 α → 1 の極限において、古典的保存則（エネルギーおよび運動量）が特殊ケースとして回復されることを目的とする。

提案手法

• パラメータ α ∈ (0,1] を持つリーマン＝リウヴィル積分関数形を用いて、分数階作用類変分問題を定式化する。
• 関数形に対するオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、非局所項 (1−α)/(t−θ) を含む。この項は非保存的効果を記述する。
• 時間および状態変数の無限小変換における作用関数の一般化された準不変性条件を導入する。
• ラグランジアン、対称性生成子、ゲージ関数 Λ を関連付ける特定の条件（式8）を要求することで、新たなネーター型定理を確立する。
• 運動量共役、ラグランジアンからその正準運動量を差し引いたもの、およびゲージ項 Λ の組み合わせとして得られる保存量（式9）を導出する。
• 極値曲線に沿って保存量が一定であることを示すことにより、定理の妥当性を検証する。このとき、オイラー＝ラグランジュ方程式および準不変性条件が満たされている必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウヴィル積分を用いた分数階変分問題へのネーターの定理の拡張は、どのように可能か？
• RQ2 従来の保存則が成立しない分数階作用類系における保存量は、どのような形をとるか？
• RQ3 非保存力は、分数階積分形式を用いることでネーター枠組みに統合可能か？
• RQ4 分数階数 α = 1 のとき、新たな保存量はどのようにして古典的エネルギー保存則および運動量保存則に還元されるか？
• RQ5 ゲージ関数 Λ および時間スケールパラメータ t は、保存量にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿では、作用関数が準不変であり、条件（8）が満たされるとき、分数階作用類変分問題における新たな保存量 ∂₃L·ξ + (L − ∂₃L·q̇)τ − Λ が導出され、それが保存されることを示した。
• 定数ラグランジアン（L(q̇, q)）の場合、保存量は L − ∂L/∂q̇·q̇ − (1−α)∫(1/(t−θ))(∂L/∂q̇·q̇)dθ に簡略化され、エネルギー保存則の一般化となる。
• ラグランジアンが q に依存しない場合、保存量は ∂L/∂q̇ + (1−α)∫(1/(t−θ))(∂L/∂q̇)dθ に簡略化され、運動量保存則の一般化となる。
• 古典的極限 α → 1 において、導出された保存量は正確に標準的エネルギー保存則および運動量保存則に還元される。
• 非局所項 (1−α)/(t−θ) は明示的に非保存的効果を記述しており、この枠組みにより散乱系をモデル化することが可能となる。
• 結果から、エル＝ナブゥルシの分数階作用類アプローチが、非保存系に対して一貫したネーター型理論を支持することが確認された。