[论文解读] Constructing circuit codes by permuting initial sequences

Ed Wynn|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文提出了两种新型的超立方体电路码构造方法，利用置换过渡序列和低维路径的串联以减少搜索空间。在多个维度中实现了蛇形线圈的新纪录，包括 d=10、展宽 2 时长度为 348，d=11、展宽 2 时长度为 638，以及 d=13、展宽 6 时长度为 58，均超越了此前已知的最佳结果。

ABSTRACT

Two new constructions are presented for coils and snakes in the hypercube. Improvements are made on the best known results for snake-in-the-box coils of dimensions 9, 10 and 11, and for some other circuit codes of dimensions between 8 and 13. In the first construction, circuit codes are generated from permuted copies of an initial transition sequence; the multiple copies constrain the search, so that long codes can be found relatively efficiently. In the second construction, two lower-dimensional paths are joined together with only one or two changes in the highest dimension; this requires a search for a permutation of the second sequence to fit around the first. It is possible to investigate sequences of vertices of the hypercube, including circuit codes, by connecting the corresponding vertices in an extended graph related to the hypercube. As an example of this, invertible circuit codes are briefly discussed.

研究动机与目标

• 开发受约束的搜索方法，以减少在超立方体中寻找长电路码时的组合爆炸问题。
• 通过在高维超立方体中构造更长的码，提升蛇形线圈与线圈问题的当前技术水平。
• 通过利用置换与路径组合带来的对称性与结构约束，实现对长电路码的高效发现。
• 提出一种基于图的方法，利用扩展图模型检测电路码中的对称性。
• 为维度 8 至 13 的新纪录长度电路码提供明确的过渡序列。

提出的方法

• 通过在置换 π 下生成初始过渡序列的多个副本，构造置换电路码，其中序列周期 P 由置换和初始跳跃向量决定。
• 使用初始跳跃向量定义从一个序列起点到下一个序列起点的位移，置换决定该跳跃在各序列间的变换方式。
• 应用受 k-展宽条件约束的回溯搜索，同时测试原始序列与置换序列的过渡，以确保有效性。
• 通过比较起始顶点骨架在共轭与置换 π 下的对称等价性，拒绝对称等价解。
• 仅在最高维中使用一到两个过渡，将两条低维路径组合，通过搜索第二条路径的合适置换，使其适配第一条路径。
• 通过添加辅助节点扩展超立方图，以检测对称性，从而识别可逆及其他对称的电路码。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过置换序列施加结构化约束，能否显著减少在超立方体中寻找长电路码的搜索空间？
• RQ2 将两条低维路径以最少的高维过渡组合，能否产生具有竞争力或更优的电路码长度？
• RQ3 如何系统性地检测并利用电路码中的对称性，以避免冗余搜索？
• RQ4 在维度 8 至 13 中，展宽为 2、3、5 和 6 时，已知的最长电路码长度是多少？
• RQ5 所提出的构造方法在码长与计算效率方面，能否优于通用的回溯搜索？

主要发现

• 在 d=10、展宽 2 的情况下，发现了一条长度为 348 的线圈，超过此前最佳的 342。
• 在 d=11、展宽 2 的情况下，发现了一条长度为 638 的线圈，创下新纪录，优于此前最佳的 630。
• 在 d=11、展宽 2 的情况下，构造出一条长度为 640 的线圈，使用长度为 32 的初始序列和置换 (1234567890)A，周期 P=20。
• 在 d=9、展宽 3 的情况下，发现了一条长度为 58 的线圈，优于此前最佳的 56。
• 在 d=12、展宽 5 的情况下，构造出一条长度为 58 的线圈，超过此前最佳的 56。
• 在 d=13、展宽 6 的情况下，发现了一条长度为 50 的线圈，优于此前最佳的 48。