[論文レビュー] Construction and sharp consistency estimates for atomistic/continuum coupling methods with general interfaces: a 2D model problem

Christoph Ortner, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Microstructure and mechanical properties参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、最近接原子間の多体相互作用を有する2次元三角格子に対して、幾何再構成に基づく新しい原子論的/連続体カップリング（a/c）手法を提案する。任意の界面幾何形状（角を含む）においてパッチテストの一貫性が達成可能であることを証明し、界面で1次の一貫性、連続体内部で2次の一貫性を確立する。これは、1次元で得られた最適な結果を2次元に拡張するものである。

ABSTRACT

We present a new variant of the geometry reconstruction approach for the formulation of atomistic/continuum coupling methods (a/c methods). For multi-body nearest-neighbour interactions on the 2D triangular lattice, we show that patch test consistent a/c methods can be constructed for arbitrary interface geometries. Moreover, we prove that all methods within this class are first-order consistent at the atomistic/continuum interface and second-order consistent in the interior of the continuum region.

研究の動機と目的

• 任意の界面幾何形状（角を含む）を有する2次元多体相互作用に対する一貫性のある原子論的/連続体カップリング手法の開発。
• 従来の手法が高対称性の界面を仮定するか、不自然な接続性の仮定を強いられるという制限を克服すること。
• 非局所項を避け、収束速度を低下させないような、明確な一貫性誤差推定を確立すること。
• 自由パラメータを有する幾何再構成アプローチの変種を構築することで、1次元で得られた最適な一貫性結果を2次元に一般化すること。
• 高次元および複雑な幾何形状における幾何再構成に基づくa/c手法の一般理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 原子論的/連続体界面において自由パラメータを有する幾何再構成（GR-AC）手法の新規変種を提案する。
• 界面で修正されたサイトポテンシャルを用い、パラメータをエネルギーおよび力の一貫性（パッチテスト）条件を満たすように適合させる。
• 2次元三角格子の標準的トライアングレーションを用いて、局所的な応力および変形測度を定義する。
• 三角形要素における原子論的モデルとa/cモデルとの間の応力差の明示的公式を導出し、正確な誤差解析を可能にする。
• 境界上のエッジ寄与のキャンセレーションを保証する修正関数を構築し、グローバルな一貫性を実現する。
• すべての可能な角構成（対称性を除く）に対して局所解析を適用し、多様な界面幾何形状にわたる本手法の頑健性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元多体相互作用において、任意の界面幾何形状（角を含む）に対してパッチテストの一貫性を持つa/c手法を構築することは可能か？
• RQ2 非局所項や人工的な接続性仮定を避け、一貫性誤差を明確に評価することは可能か？
• RQ3 一般の界面に対して、連続体領域で2次の一貫性、界面で1次の一貫性を達成することは可能か？
• RQ4 幾何再構成手法における自由パラメータを、エネルギーおよび力の一貫性を満たすように体系的に適合させることは可能か？
• RQ5 提案手法は、凸および凹の角を含むすべての界面構成において、最適な収束速度を維持するか？

主な発見

• 2次元最近接原子間多体相互作用において、任意の界面幾何形状（角を含む）に対してパッチテストの一貫性を持つa/c手法を構築可能である。
• 提案クラスに属するすべての手法が、原子論的/連続体界面で1次の一貫性、連続体領域内部で2次の一貫性を達成する。
• 各三角形要素における応力誤差は明示的に計算され、再構成パラメータのリプシッツ制御を通じて有界であることが示された。
• 本手法の一貫性は局所的かつ幾何形状に依存せず、唯一の分離仮定（仮定3.4）に依存し、対称性を除くすべての角構成に対して成立する。
• 修正関数が明示的に構築され、境界上のエッジ寄与のキャンセレーションを保証し、グローバルな一貫性を実現する。
• 結果として、1次元で得られた最適な一貫性推定（[10]より）を2次元に一般化し、GR-AC手法の一般理論への基盤的段階を確立した。