[論文レビュー] Continuous mappings with null support

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、与えられたイデアル $ \mathscr{I} $ による可縮近傍を有する、トポロジカル空間 $ X $ 上の連続有界関数からなるバナッハ代数 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ および $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ を導入し、それらを研究する。主な結果は、正規で局所的可縮な空間に対して、これらの代数が一意的な局所コンパクトハウスドルフ空間 $ Y \subseteq \beta X $ 上の $ C_{00}(Y) $ および $ C_0(Y) $ に等長同型であることを示しており、これにより $ Y $ の位相的構造を用いた新しいゲルファンド–ナイマーク型定理が得られる。

ABSTRACT

Let $X$ be a (topological) space and let ${\mathscr I}$ be an ideal in $X$, that is, a collection of subsets of $X$ which contains all subsets of its elements and is closed under finite unions. The elements of ${\mathscr I}$ are called null. The space $X$ is locally null if each $x$ in $X$ has a null neighborhood in $X$. Let $C_b(X)$ denote the normed algebra of all continuous bounded real-valued mappings on $X$ equipped with the supremum norm, $C_0(X)$ denote the subalgebra of $C_b(X)$ consisting of elements vanishing at infinity and $C_{00}(X)$ the subalgebra of $C_b(X)$ consisting of elements with compact support. We study the normed subalgebra $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ of $C_b(X)$ consisting of all $f$ in $C_b(X)$ whose support has a null neighborhood in $X$, and the Banach subalgebra $C^{\mathscr I}_0(X)$ of $C_b(X)$ consisting of all $f$ in $C_b(X)$ such that $|f|^{-1}([1/n,\infty))$ has a null neighborhood in $X$ for all positive integer $n$. We prove that if $X$ is a normal locally null space then $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ and $C^{\mathscr I}_0(X)$ are respectively isometrically isomorphic to $C_{00}(Y)$ and $C_0(Y)$ for a unique locally compact Hausdorff space $Y$; furthermore, $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ is dense in $C^{\mathscr I}_0(X)$. We construct $Y$ explicitly as a subspace of the Stone--Čech compactification $βX$ of $X$. The space $Y$ is locally compact (and countably compact, in certain cases), contains $X$ densely, and in specific cases turns out to be familiar subspaces of $βX$. The known topological structure of $Y$ enables us to establish several commutative Gelfand--Naimark type theorems and derive results not generally expected to be deducible from the standard Gelfand theory.

研究の動機と目的

• イデアル $ \mathscr{I} $ による可縮近傍を有する連続有界関数のノルム代数 $ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ を定義し、分析すること。
• 各レベル集合 $ |f|^{-1}([1/n,\infty)) $ が $ X $ 内で可縮近傍を有する連続有界関数のバナッハ代数 $ C^\mathscr{I}_0(X) $ を定義し、それらを研究すること。
• 正規性および局所的可縮性の条件下で、$ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ および $ C^\mathscr{I}_0(X) $ が局所コンパクトハウスドルフ空間 $ Y \subseteq \beta X $ 上の関数 $ C_{00}(Y) $ および $ C_0(Y) $ に等長同型であることを確立すること。
• $ Y $ をストーン＝チェホフコンパクト化 $ \beta X $ の部分空間として明示的に構成し、それが局所コンパクトであり、ある場合には可算コンパクトであることを示すこと。
• 既知の $ Y $ の位相的構造を活用して、標準的なゲルファンド理論を超えた新しい可換ゲルファンド–ナイマーク型定理を導出すること。

提案手法

• 可縮集合が空間 $ X $ 上のイデアル $ \mathscr{I} $ に属するとき、$ \mathrm{supp}(f) $ が $ X $ 内で可縮近傍を有するすべての $ f \in C_b(X) $ の集合として $ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ を定義する。
• 各正の整数 $ n $ に対して、$ |f|^{-1}([1/n,\infty)) $ が $ X $ 内で可縮近傍を有するすべての $ f \in C_b(X) $ の集合として $ C^\mathscr{I}_0(X) $ を定義する。これにより、$ \mathscr{I} $ による無限遠での減衰が保証される。
• 局所コンパクトハウスドルフ空間 $ Y \subseteq \beta X $（$ X $ のストーン＝チェホフコンパクト化）を構成し、$ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ および $ C^\mathscr{I}_0(X) $ がそれぞれ $ C_{00}(Y) $ および $ C_0(Y) $ に等長同型であることを示す。
• 正規空間では閉部分空間が $ C $-埋め込み可能であり、$ \upsilon X $（ヘヴィットの実コンパクト化）を用いて、$ \mathscr{I} $ が実コンパクト閉包を有する集合のイデアルであるとき、$ Y = \beta X \setminus \mathrm{cl}_{\beta X}(\upsilon X \setminus X) $ と特徴づける。
• $ \beta X $ の位相的性質（連続拡張の存在、コンパクト化における閉包の挙動など）を用いて、$ Y $ が局所コンパクトであり、$ X $ を稠密に含むことを証明する。
• 可換バナッハ代数理論における双対性技法、特にゲルファンド–ナイマーク型定理を応用し、$ Y $ の位相的構成から構造的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、代数 $ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ が局所コンパクトハウスドルフ空間 $ Y $ に対して $ C_{00}(Y) $ に等長同型となるか？
• RQ2 正規かつ局所的可縮な空間 $ X $ に対して、$ C^\mathscr{I}_0(X) $ の構造は、部分空間 $ Y \subseteq \beta X $ の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ3 等長同型を実現する空間 $ Y $ の明示的な位相的記述は何か？ また、これはイデアル $ \mathscr{I} $ にどのように依存するか？
• RQ4 $ Y \subseteq \beta X $ の位相的構造から、標準的なゲルファンド理論を超えた新しいゲルファンド–ナイマーク型定理を導出できるか？
• RQ5 $ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ が、その台自体が可縮である関数の集合と一致するのはいつか？ また、$ C^\mathscr{I}_0(X) $ が、その非零集合が可縮近傍を有する関数の集合と一致するのはいつか？

主な発見

• 正規で局所的可縮な空間 $ X $ に対して、代数 $ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ は一意的な局所コンパクトハウスドルフ空間 $ Y \subseteq \beta X $ に対して $ C_{00}(Y) $ に等長同型であり、$ X $ は $ Y $ に稠密に埋め込まれる。
• $ C^\mathscr{I}_0(X) $ は $ C_0(Y) $ に等長同型であり、$ C^\mathscr{I}_{00}(X) $ は $ C^\mathscr{I}_0(X) $ に稠密に含まれるため、自然な包含構造が成立する。
• $ \mathscr{I} $ が実コンパクト閉包を有する集合のイデアルであるとき、$ Y $ は明示的に $ \beta X \setminus \mathrm{cl}_{\beta X}(\upsilon X \setminus X) $ として構成され、これは $ \beta X $ のよく知られた部分空間である。
• $ \mathscr{I} $ が正規空間 $ X $ において実コンパクト閉包を有する集合のイデアルであるとき、$ Y $ は $ \beta X $ の点の集合であり、$ \upsilon X \setminus X $ の閉包に属さないものであり、これは局所コンパクトな $ G_\delta $-集合である。
• $ Y $ の構成により、標準的なゲルファンド理論では一般に得られない、新しい可換ゲルファンド–ナイマーク型定理が導出可能である。これは $ Y $ の特異な位相的性質に起因する。
• $ \mathscr{I} $ が $ \sigma $-イデアルであり、$ X $ がリンドレーフかつ局所的可縮であるとき、$ C^\mathscr{I}_{00}(X) = \{ f \in C_b(X) : \mathrm{supp}(f) \text{ は可縮} \} $ が成り立ち、代数的記述が単純化される。