[論文レビュー] Contravariance through enrichment

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非可換モノイド圏 V における豊密化としての反変を有する2カテゴリを導入し、絶対的重み付き余極限を用いた双対性自己同型の普遍的特徴付けを可能にする。また、任意の弱い双対性自己同型を有するビカテゴリは、厳密な双対性自己同型を有する2カテゴリに双同値であることを証明する同調性定理を提示する。この証明には豊密化ビカテゴリおよびヤオダ埋め込みが用いられる。

ABSTRACT

We define strict and weak duality involutions on 2-categories, and prove a coherence theorem that every bicategory with a weak duality involution is biequivalent to a 2-category with a strict duality involution. For this purpose we introduce "2-categories with contravariance", a sort of enhanced 2-category with a basic notion of "contravariant morphism", which can be regarded either as generalized multicategories or as enriched categories. This enables a universal characterization of duality involutions using absolute weighted colimits, leading to a conceptual proof of the coherence theorem.

研究の動機と目的

• 豊密化圏論を用いた2カテゴリにおける双対性自己同型の概念的枠組みを構築すること。
• Cat や関連する2カテゴリにおける (−)op のような双対性自己同型を抽象的に特徴付ける際の基礎的ギャップを解消すること。
• ビカテゴリにおける弱い双対性自己同型が、厳密な双対性自己同型を有する2カテゴリへの双同値によって厳密に実現可能であることを証明すること。
• 一般化されたマルチカテゴリと豊密化圏を統一するために、反変を有する2カテゴリが特定のモノイド圏 V における豊密化圏と同値であることを示すこと。

提案手法

• 共変および反変のホムカテゴリを有する構造として、反変を有する2カテゴリを定義し、合成および反変射に関しての後合成について閉じていること。
• V-豊密化圏が反変を有する2カテゴリとちょうど一致するように、非可換モノイド圏 V を定義すること。
• 豊密化ビカテゴリおよび V-重み付き余極限の理論を用いて、反変射の表現性を厳密な反転として特徴付けること。
• 中程度 A-加群の V-ビカテゴリへのヤオダ埋め込みを適用し、このビカテゴリが反変を有する厳密な2カテゴリであることを示すこと。
• 厳密な反転に関する自由余完備化を構成し、反転が弱いものである場合に、厳密な反転を有する構造へ双同値であることを示すこと。
• 厳密な反転と強い双対性自己同型の同値性を活用し、弱い双対性自己同型が双同値を介して厳密なものと同調的であることを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 豊密化の文脈において、重み付き余極限を用いて2カテゴリにおける双対性自己同型を普遍的に特徴付けることは可能か？
• RQ2 ビカテゴリにおける弱い双対性自己同型を、双同値を介して厳密なものに置き換える方法はあるか？
• RQ3 反変射を、豊密化を用いた2カテゴリ的枠組み内で体系的にモデル化する方法は何か？
• RQ4 双対性の文脈において、一般化されたマルチカテゴリと豊密化圏の関係は何か？
• RQ5 任意の弱い双対性自己同型を有するビカテゴリは、双対性構造を保存する双同値を介して、厳密な双対性自己同型を有する2カテゴリに埋め込むことができるか？

主な発見

• 任意の弱い双対性自己同型を有するビカテゴリは、双対性構造を整合的に保存する双同値を介して、厳密な双対性自己同型を有する2カテゴリに双同値である。
• 反変を有する2カテゴリは、特定の非可換モノイド圏 V における豊密化圏と同値であり、一般化されたマルチカテゴリと豊密化圏論を統一する。
• 中程度 A-加群の V-ビカテゴリへのヤオダ埋め込みにより、反変を有する厳密な2カテゴリが得られ、任意の反変を有するビカテゴリに対して双同値が得られる。
• 反変を有する2カテゴリにおける弱い反転は、厳密な反転に関する自由余完備化を介して、厳密な反転を有する圏に双同値であることを示唆する。
• 厳密な反転を有する2カテゴリは、強い双対性自己同型を有する2カテゴリと同値であり、さらに2-モノイド的同調性を介して、厳密な双対性自己同型を有する2カテゴリと同値である。
• このフレームワーク全体が概念的に統一されている：双対性自己同型は豊密化ビカテゴリにおける絶対的重み付き余極限として特徴付けられ、同調性の概念的証明に至る。