[論文レビュー] Courant algebroids from categorified symplectic geometry

Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3形式が閉じており非退化である2-プレクティック多様体と、正確なコーラント代数的群との間の明確な対応関係を確立する。各2-プレクティック形式 ω は、Ševera類 [ω] を持つコーラント代数的群 Eω を誘導する。また、ハミルトニアン1形式のリー2代数を Eω のセクションのリー2代数へ埋め込む構成を行い、これらの観測量が2-プレクティック構造を保存する無限小対称性として特定されることを示す。

ABSTRACT

In categorified symplectic geometry, one studies the categorified algebraic and geometric structures that naturally arise on manifolds equipped with a closed nondegenerate (n+1)-form. The case relevant to classical string theory is when n=2 and is called "2-plectic geometry". Just as the Poisson bracket makes the smooth functions on a symplectic manifold into a Lie algebra, there is a Lie 2-algebra of observables associated to any 2-plectic manifold. String theory, closed 3-forms and Lie 2-algebras also play important roles in the theory of Courant algebroids. Courant algebroids are vector bundles which generalize the structures found in tangent bundles and quadratic Lie algebras. It is known that a particular kind of Courant algebroid (called an exact Courant algebroid) naturally arises in string theory, and that such an algebroid is classified up to isomorphism by a closed 3-form on the base space, which then induces a Lie 2-algebra structure on the space of global sections. In this paper we begin to establish precise connections between 2-plectic manifolds and Courant algebroids. We prove that any manifold M equipped with a 2-plectic form omega gives an exact Courant algebroid E_omega over M with Severa class [omega], and we construct an embedding of the Lie 2-algebra of observables into the Lie 2-algebra of sections of E_omega. We then show that this embedding identifies the observables as particular infinitesimal symmetries of E_omega which preserve the 2-plectic structure on M.

研究の動機と目的

• 2-プレクティック幾何学とコーラント代数的群との間の明確な数学的関係を確立すること。
• 任意の2-プレクティック多様体 (M, ω) が、Ševera類 [ω] を持つ正確なコーラント代数的群 Eω を誘導することを示すこと。
• ハミルトニアン1形式のリー2代数を、Eω の全セクションのリー2代数へ埋め込む構成を行うこと。
• この埋め込みの像を、M 上の2-プレクティック構造を保存する Eω の無限小対称性として特定すること。
• 2-プレクティック幾何学における観測量の役割を、随伴作用を通じたハミルトニアン2-プレクティック同相写像として明確化すること。

提案手法

• 3形式 ω をŠevera類として用い、2-プレクティック多様体 (M, ω) 上に正確なコーラント代数的群 Eω を構成する。
• 次の式により、Eω のセクション上の非歪対称括弧を定義する：(v₁, α₁) ∘ω (v₂, α₂) = [[(v₁, α₁), (v₂, α₂)]]ω + ½ d⟨(v₁, α₁), (v₂, α₂)⟩。
• 1形式 α に対して関連するハミルトニアンベクトル場 vα を用い、φ₀: Ham(M) → Γ(Eω) を φ₀(α) = (vα, -α) により定義する。
• φ₀ の像にある (u,β) に対して、セクションへの随伴作用 ad(u,β) が、(u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M) に一致することを示す。
• このようなセクションが、φₜ*ω = ω を満たす微分同相写像 φt: M → M に対応する1パラメータ族のコーラント代数的群自己同型を生成することを示す。
• リー2代数構造が、写像 φ₀ を通じて、Eω のセクションのリー2代数へ埋め込まれることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-プレクティック多様体 (M, ω) を用いて、正確なコーラント代数的群 Eω をどのように構成できるか。
• RQ2 M 上のハミルトニアン1形式のリー2代数と、Eω の全セクションのリー2代数との間の関係は何か。
• RQ3 Eω のどのセクションが、M 上の2-プレクティック構造を保存する対称性に対応するか。
• RQ4 Eω のセクションの随伴作用が、非歪対称括弧の導分とどのように関係するか。
• RQ5 2-プレクティック幾何学の観測量を、関連するコーラント代数的群の無限小対称性として特定できるか。

主な発見

• 任意の2-プレクティック多様体 (M, ω) は、Ševera類 [ω] ∈ H³dR(M) を持つ一意的な正確なコーラント代数的群 Eω を M 上に誘導する。
• α ↦ (vα, -α) により定義される写像 φ₀: Ham(M) → Γ(Eω) は、ハミルトニアン1形式のリー2代数を、Eω の全セクションのリー2代数へ埋め込む。
• φ₀ の像にあるセクション (u, β) は、ad(u,β)(v, α) = (ℒᵤv, ℒᵤα) を満たし、その随伴作用が2-プレクティック構造を保存することを意味する。
• このようなセクションの随伴作用は、(u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M) に一致し、Eω の対称性を生成することを示唆する。
• ad(u,β) により生成される1パラメータ族のコーラント代数的群自己同型は、φₜ*ω = ω を満たす1パラメータ族の微分同相写像 φt: M → M に対応する。
• これらの微分同相写像はハミルトニアン2-プレクティック同相写像であり、シンプレクティックなハミルトニアン微分同相写像を2-プレクティック設定に一般化する。