[论文解读] Coxeter combinatorics and spherical Schubert geometry

Reuven Hodges, Alexander Yong|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文引入有限考克斯eter群中的 $I$-球面元素作为考克斯eter元素的推广，猜想当 $W$ 为外尔群时，这些元素在 $G/B$ 中索引关于李子群作用的球面施鲁夫曼流形。作者建立了与关键多项式、无重性及分裂对称性的联系，并在类型 $A$ 中证明了当 $n \leq 4$ 时，$\mathfrak{S}_n$ 中的极大球面元素是完全交换的，且通过德迈祖模的组合学与代数组合学结果验证了该猜想。

ABSTRACT

For a finite Coxeter system and a subset of its diagram nodes, we define spherical elements (a generalization of Coxeter elements). Conjecturally, for Weyl groups, spherical elements index Schubert varieties in a flag manifold G/B that are spherical for the action of a Levi subgroup. We evidence the conjecture, employing the combinatorics of Demazure modules, and work of R. Avdeev-A. Petukhov, M. Can-R. Hodges, R. Hodges-V. Lakshmibai, P. Karuppuchamy, P. Magyar-J. Weyman-A. Zelevinsky, N. Perrin, J. Stembridge, and B. Tenner. In type A, we establish connections with the key polynomials of A. Lascoux- M.-P. Schützenberger, multiplicity-freeness, and split-symmetry in algebraic combinatorics. Thereby, we invoke theorems of A. Kohnert, V. Reiner-M. Shimozono, and C. Ross-A. Yong.

研究动机与目标

• 定义并研究有限考克斯eter系统中的 $I$-球面元素，将其作为考克斯eter元素的推广。
• 猜想：当 $W$ 为外尔群时，$I$-球面元素在李子群作用下索引 $G/B$ 中的球面施鲁夫曼流形。
• 在类型 $A$ 中建立 $I$-球面元素与代数组合学之间的联系，包括关键多项式与无重性。
• 利用德迈祖模的组合学与阿夫迪耶夫–佩图霍夫、坎–霍吉斯等人的结果，验证该猜想。
• 分析对称群 $\mathfrak{S}_n$ 中约化表达式的结构及球面性的见证条件。

提出的方法

• 通过满足两个约束的约化表达式定义 $I$-球面元素：非 $I$-生成元的重复次数受限，以及与抛物子群长元素相关的分量长度界限。
• 利用德迈祖模的组合学与代数组合学结果，支持球面施鲁夫曼流形猜想。
• 应用科恩特、雷纳–下田、罗思–雍关于关键多项式与插入算法的定理，分析 $\mathfrak{S}_n$ 的情形。
• 使用埃德曼–格林的列插入法，计算对应于约化表达式的表序列。
• 借助计算机辅助枚举（通过 ACE 和 Coxeter/Weyl 工具包）计算 $\mathfrak{S}_5$、$\mathfrak{S}_6$ 与 $\mathfrak{S}_7$ 中的非球面元素，分别识别出 320 个与 3450 个反例。
• 利用科恩特法则证明某些 $\kappa_\alpha$ 在扩展变量集中非无重性，从而推出对应施鲁夫曼流形非 $L_{J(w)}$-球面性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在外尔群中，哪些元素是 $I$-球面的？它们与 $G/B$ 中施鲁夫曼流形的几何结构有何关系？
• RQ2 $\mathfrak{S}_n$ 中的 $I$-球面元素是否对应于在李子群作用下为球面的施鲁夫曼流形？
• RQ3 在类型 $A$ 中，$I$-球面元素如何与关键多项式、无重性及分裂对称性相关联？
• RQ4 是否存在关于约化表达式与表插入的 $I$-球面元素的组合刻画？
• RQ5 随着 $n$ 增大，$\mathfrak{S}_n$ 中非 $J(w)$-球面元素的比例如何变化？

主要发现

• 当 $n \leq 4$ 时，$\mathfrak{S}_n$ 中所有元素均为 $J(w)$-球面的，但当 $n \geq 5$ 时该性质不成立，$\mathfrak{S}_5$ 中有 320 个非例，$\mathfrak{S}_7$ 中有 3450 个。
• 一个 $J(w)$-球面元素的逆元不一定是 $J(w)$-球面的，例如 $24531^{-1} = 51423$ 不在非球面列表中。
• 在类型 $A$ 中，当元素避免 $321$ 模式时，$I$-球面元素是完全交换的，且其约化表达式仅通过交换关系相连。
• 当 $w$ 避免 $321$ 模式时，$w$ 的 $I$-见证数与约化表达式的选取无关。
• 对于 $\alpha = (0^a, 2, 1)$，$\kappa_\alpha$ 展开中的系数计数满足特定最小值与行读取字串条件的递增表序列，且埃德曼–格林插入法产生固定表 $T[\alpha]$。
• 对于 $\alpha = (3^f, 0^a, 2, 1)$，$\kappa_\alpha$ 的 $D^\prime$-分裂展开具有非唯一系数，表明 $\kappa_\alpha$ 非 $D^\prime$-无重性，由定理 4.13 (II) 可知对应施鲁夫曼流形 $X_w$ 非 $L_{J(w)}$-球面。