[論文レビュー] Cryptography in a Quantum World

Stephanie Wehner|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 221被引用数 12

ひとこと要約

本学位論文は、量子計算が暗号に与える影響を調査し、不確定性関係、もつれ、およびそれらが量子プロトコルのセキュリティにおける役割に焦点を当てている。相互に unbiased な基底に対するタイトなエントロピー的不確定性関係を確立し、測定後の情報と量子メモリが状態同一定を向上させることで、量子ビットコミットメントおよび量子環境下での安全な関数評価の新たな境界を導出している。

ABSTRACT

Quantum computing had a profound impact on cryptography. Shor's discovery of an efficient quantum algorithm for factoring large integers implies that many existing classical systems based on computational assumptions can be broken, once a quantum computer is built. It is therefore imperative to find other means of implementing secure protocols. This thesis aims to contribute to the understanding of both the physical limitations, as well as the possibilities of cryptography in the quantum setting. In particular, we investigate several questions that are crucial to the security of quantum protocols: How can we find good uncertainty relations for a large number of measurement settings? How does the presence of entanglement affect classical protocols? And, what limitations does entanglement impose on implementing quantum protocols? Finally, can we circumvent some of those limitations using realistic assumptions?

研究の動機と目的

• 量子コンピュータの脅威の下で、量子世界における暗号の物理的限界と可能性を理解すること。
• 不確定性関係ともつれが、量子暗号プロトコルのセキュリティと実現可能性に与える影響を調査すること。
• 限定的量子ストレージや測定後の情報といった現実的な仮定が、根本的な量子制限を回避できるかどうかを特定すること。
• よりタイトな不確定性関係を構築し、それらが量子ビットコミットメントおよび情報ロックに与える影響を分析すること。
• 相互に unbiased な基底と一般化されたパウリ行列が、安全な量子プロトコルを構築する上で果たす役割を調査すること。

提案手法

• Rényi エントロピーと von Neumann エントロピーに基づくエントロピー的不確定性関係を用い、複数の基底における測定結果のトレードオフを定量化する。
• Clifford代数を用いた一般化されたBloch球パラメータ化を適用し、反可換なパウリ型演算子を用いて量子状態を表現する。
• 反可換行列の構造と直交変換を用いて内積を保存する方法により、メタ不確定性関係を導出する。
• 測定後の情報を用いた量子状態同一定の分析において、代数的モデルを構築し、ブール関数の境界を導出する。
• 半正定値計画法を用いて、期待値に寄与しない係数が存在する場合でも、最適戦略においてフルランク密度行列が必要であることを数値的に検証する。
• Tsirelsonの構成を活用し、量子非局所性と非局所的ゲームおよびベル不等式における最適量子戦略との関係を関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の測定設定、特に相互に unbiased な基底を用いた場合に、タイトなエントロピー的不確定性関係をどのように導出できるか。
• RQ2 もつれは、量子環境下における古典的暗号プロトコルのセキュリティをどの程度損なうか。
• RQ3 測定後の情報や量子メモリは、量子状態同一定における成功確率を顕著に向上させることができるか。
• RQ4 量子力学が、安全なビットコミットメントおよび他の暗号原素の実装に課す根本的制限は何か。
• RQ5 一般化されたパウリ行列と反可換演算子基底は、非局所的ゲームにおける最適量子戦略の構築にどのように寄与するか。

主な発見

• Rényi エントロピーと von Neumann エントロピーを用いた相互に unbiased な基底に対するタイトなエントロピー的不確定性関係が確立され、AND関数およびXOR関数に対して明示的な境界が導出された。
• 測定後の情報の存在により、状態同一定における成功確率が顕著に向上し、バランスの取れたブール関数に対して最適境界が導出された。
• 量子メモリを用いることで、特定の設定において測定結果を完全に予測可能となり、3つの相互に unbiased な基底を用いる戦略が2つよりも優れていることが示された。
• 一般化されたBloch表現における1ベクトル成分の係数は、∑gⱼ² ≤ 1 を満たし、これが不確定性関係の導出に重要な制約として用いられた。
• 半正定値計画法による数値的分析により、期待値に寄与しない係数（例：rⱼ）が存在する場合でも、最適戦略において完全に最大もつれ状態が必要であることが確認された。
• 本論文は、非局所的ゲームにおける最適量子戦略がTsirelsonの方法により構築可能であり、反可換演算子の構造がTsirelson型境界の導出を支える根拠となっていることを示した。