[論文レビュー] Curvatures of moduli space of curves and applications

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 2$ の種数の曲線のモジュライ空間にウェイユ・ペトリス計量を導入した場合、強い曲率負性の性質を示す。具体的には、双対・ナカノ負性および半・ナカノ負性の曲率が成り立ち、リーマン計量の曲率作用素と複素断面曲率が非正となる。主な応用として、アーベル多様体のモジュライ空間のトーリー局部分に有限体積をもつ完全測地的部分多様体が存在する場合、それがボール商であることを証明し、微分幾何学的手法によりオアートの予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the geometry of the moduli space of curves by using the curvature properties of direct image sheaves of vector bundles. We show that the moduli space $(M_g, ω_{WP})$ of curves with genus $g>1$ has dual-Nakano negative and semi-Nakano-negative curvature, and in particular, it has non-positive Riemannain curvature operator and also non-positive complex sectional curvature. As applications, we prove that any submanifold in $M_g$ which is totally geodesic in $A_g$ with finite volume must be a ball quotient.

研究の動機と目的

• 種数 $g \geq 2$ の曲線のモジュライ空間におけるウェイユ・ペトリス計量の曲率性質を調査すること。
• モジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ に対して、双対・ナカノ負性および半・ナカノ負性を含む強い曲率負性を確立すること。
• 曲率性質を応用し、$\mathcal{A}_g$ のトーリー局部における非自明な局所対称的部分多様体の非存在を示すオアートの予想を取り上げること。
• 微分幾何学的手法を用いて、トーリー局部内に存在する任意の有限体積をもつ完全測地的部分多様体がボール商でなければならないことを証明すること。

提案手法

• ベクトルバンドルの直接像層の曲率公式を用い、$T^*\mathcal{M}_g$ 上のウェイユ・ペトリス計量の双対の曲率を計算する。
• [11] の技術と [2]、[12]、[23] の曲率公式を適用し、$\mathcal{M}_g$ 上のウェイユ・ペトリス計量の曲率性質を導出する。
• ケーラー多様体における曲率関係の階層を確立し、双対・ナカノ負性から非正のリーマン計量の曲率作用素および複素断面曲率への含意関係を示す。
• トーリー写像 $j: \mathcal{M}_g \to \mathcal{A}_g$ を用い、$\mathcal{M}_g$ の幾何と、ホッジ計量を備えたアーベル多様体のモジュライ空間の幾何を関連付ける。
• 剛性定理（例えば、To の定理 5.2）を適用し、$V$ 上で厳密に負の複素双断面曲率が成り立ち、$j(V)$ 上で非正の曲率が成り立つ場合、$j(V)$ がボール商でなければならないことを示す。
• モクの結果を用いて、$\mathcal{M}_g$ 内の局所対称空間がランク $>1$ をもつと、ウェイユ・ペトリス計量の厳密な曲率負性と矛盾することを示し、結果としてランク 1 に強制されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ がウェイユ・ペトリス計量を備える場合、強い曲率負性の性質を有するか？
• RQ2 双対・ナカノ負性の文脈において、$\mathcal{M}_g$ における曲率の含意関係は何か？
• RQ3 曲率性質 $\mathcal{M}_g$ を用いて、トーリー局部内に高ランクの局所対称的部分多様体が存在しないことを証明できるか？
• RQ4 トーリー写像は曲率制約を保存する性質を持ち、$\mathcal{A}_g$ 内の有限体積をもつ完全測地的部分多様体がボール商でなければならないように強制するか？

主な発見

• 種数 $g \geq 2$ に対して、モジュライ空間 $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ は双対・ナカノ負性および半・ナカノ負性を有する。
• その結果、$({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ は非正のリーマン計量の曲率作用素および非正の複素断面曲率を有する。
• 任意の部分多様体 $V \subset \mathcal{M}_g$ で、$j(V)$ が $({\mathcal{A}}_g,\omega_H)$ 内で完全測地的かつ有限体積をもつものに対して、$V$ はボール商でなければならない。
• この結果は、オアートの予想に対する微分幾何学的戦略を確認し、ウェイユ・ペトリス計量を備えた $\mathcal{M}_g$ に高ランクの局所対称空間が正則的に埋め込めないことを示す。
• 定理 1.1 で確立された曲率階層は、双対・ナカノ負性が非正のリーマン計量の曲率作用素、複素断面曲率、および複素双断面曲率を含意することを示す。
• 系 1.6 は、局所対称空間 $X = \Omega/\Gamma$ から $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ への非定値正則写像が存在する場合、$\Omega$ はランク 1 でなければならない、つまり $X$ はボール商でなければならないことを確認する。