[論文レビュー] Deformations of Hom-Alternative and Hom-Malcev algebras

Mohamed Elhamdadi, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、Gerstenhaberの形式的変形理論をホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数へ拡張し、変形コホモロジー群を構成するとともに、代数自己準同型を用いた合成に基づく方法を導入して、交換法則的およびマリチェフ代数をそのホム構造へ変形する。主な貢献は、代数自己準同型を用いた形式的変形を体系的に生成する手続きであり、4次元例における明示的計算とコンピュータ代数システムによる検証によって裏付けられている。

ABSTRACT

The aim of this paper is to extend Gerstenhaber formal deformations of algebras to the case of Hom-Alternative and Hom-Malcev algebras. We construct deformation cohomology groups in low dimensions. Using a composition construction, we give a procedure to provide deformations of alternative algebras (resp. Malcev algebras) into Hom-alternative algebras (resp. Hom-Malcev algebras). Then it is used to supply examples for which we compute some cohomology invariants.

研究の動機と目的

• Gerstenhaberの形式的変形理論をホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数へ一般化すること。
• これらの代数における低次元での変形コホモロジー群を構成すること。
• 代数自己準同型を用いた合成プロシージャーを提示し、代数的交換法則およびマリチェフ代数をホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数へ変形すること。
• コンピュータ代数システムを用いてコホモロジー不変量を計算し、明示的例を導出すること。
• 代数自己準同型が有効なホム＝マリチェフ代数の変形をもたらすための条件を確立すること。

提案手法

• 変形パrameter $ t $ に関するべき級数を用いて、Gerstenhaberの形式的変形フレームワークをホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数へ適応する。
• ホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ恒等式に特化したコチェーン複体を用いて、変形コホモロジーを定義する。
• 合成構成法を用いる：マリチェフ代数 $ (A, [ , ], \text{id}) $ に対して、$ [ , ]_t = \alpha_t \circ [ , ] $ および $ \alpha_t = \text{id} + \sum_{i \geq 1} t^i \alpha_i $ を定義し、$ \alpha_t $ を自己準同型とする。
• 定理5.2を適用して、任意の自己準同型 $ \alpha_t $ に対して $ (A, \alpha_t \circ [ , ], \alpha_t) $ がホム＝マリチェフ代数であることを示す。
• タイプ2の $ n $ 番目の導来ホム代数を $ [ , ]_t^{(n)} = \alpha_t^{2^n - 1} \circ [ , ]_t $ および $ \alpha_t^{2^n} $ により構成し、それらがホム＝マリチェフ代数であることを証明する。
• コンピュータ代数システムを用いて4次元ホム代数的交換法則代数における微分作用素およびコサイクルを計算し、形式的理論の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的変形理論は、どのようにホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数へ拡張可能か？
• RQ2 低次のホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数の変形を支配するコホモロジー群は何か？
• RQ3 代数自己準同型を用いた合成プロセスは、代数的交換法則およびマリチェフ代数の有効な形式的変形を、そのホム構造へ生成可能か？
• RQ4 4次元ホム代数的交換法則代数における変形の明示的形態は何か？ また、それらのコホモロジー不変量は何か？
• RQ5 タイプ2の導来ホム代数は、変形下でホム＝マリチェフ恒等式をどのように保存するか？

主な発見

• 本稿は、ホム代数的交換法則およびホム＝マリチェフ代数のための変形コホモロジー群を構成し、非結合的ホム構造へGerstenhaberの枠組みを拡張した。
• 合成に基づく変形手続きが確立された：マリチェフ代数 $ (A, [ , ], \text{id}) $ に対して、$ \alpha_t = \text{id} + \sum_{i \geq 1} t^i \alpha_i $ が自己準同型であるとき、$ (A, \alpha_t \circ [ , ], \alpha_t) $ はホム＝マリチェフ代数の形式的変形である。
• タイプ2の $ n $ 番目の導来ホム代数は、$ [ , ]_t^{(n)} = \alpha_t^{2^n - 1} \circ [ , ]_t $ および $ \alpha_t^{2^n} $ により定義され、ホム＝マリチェフ代数であることが示され、変形プロセスが一般化された。
• 4次元ホム代数的交換法則代数における明示的計算が実施され、微分作用素およびコサイクルがコンピュータ代数システムを用いて計算された。
• 例として、$ \alpha_t $ が単位写像の変形である場合が提示され、$ t^4 $ までの一意的パラメータ族のホム＝マリチェフ代数が、明示的な括弧積およびねじれ写像を伴って得られた。
• 手続きの妥当性は、$ [e_0, e_1]_t^{(1)} = [ , ]_t + 2t \alpha_1 \circ [ , ]_t + t^2 \alpha_1^2 \circ [ , ]_t $ および対応する $ \alpha_t^2 $ が得られることにより確認され、変形構造が裏付けられた。