[論文レビュー] Degenerate elliptic operators in mathematical finance and Holder continuity for solutions to variational equations and inequalities

Paul M. N. Feehan, Camelia A. Pop|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、確率的ボラティリティモデルの主要な生成子である退化楕円型Heston作用素を含む変分方程式および不等式の解について、ホルダー連続性およびハルナック型不等式を確立する。重み付きソボレフ空間を用いて境界における正則性および上界を証明し、数学的ファイナンスにおける永続的アメリカン・オプション価格の分析に不可欠である。

ABSTRACT

The Heston stochastic volatility process, which is widely used as an asset price model in mathematical finance, is a paradigm for a degenerate diffusion process where the degeneracy in the diffusion coefficient is proportional to the square root of the distance to the boundary of the half-plane. The generator of this process with killing, called the elliptic Heston operator, is a second-order, degenerate-elliptic partial differential operator whose coefficients have linear growth in the spatial variables and where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the distance to the boundary of the half-plane. With the aid of weighted Sobolev spaces, we prove supremum bounds, a Harnack inequality, and H\older continuity near the boundary for solutions to variational equations defined by the elliptic Heston operator, as well as H\older continuity up to the boundary for solutions to variational inequalities defined by the elliptic Heston operator. In mathematical finance, solutions to obstacle problems for the elliptic Heston operator correspond to value functions for perpetual American-style options on the underlying asset.

研究の動機と目的

• 退化楕円型Heston作用素によって駆動される変分方程式の解について、境界付近でのホルダー連続性を確立すること。
• 重み付きソボレフ空間における楕円型Heston作用素の解について、上界およびハルナック不等式を導出すること。
• 障害問題におけるファイナンス的応用に関連する変分不等式の解への正則性結果を拡張すること。
• Heston確率的ボラティリティモデル下での永続的アメリカン・スタイル・オプションの価格関数に対する厳密な解析的基盤を提供すること。
• 半平面の境界からの距離の平方根に比例する拡散係数の退化という課題に対処すること。

提案手法

• Heston作用素における退化を扱うために重み付きソボレフ空間を用い、境界で拡散係数が消える状況を対処する。
• 楕円型Heston作用素によって定義される方程式および不等式の解を、変分的手法を用いて研究する。
• 作用素の構造および重み関数の性質を活用して、ハルナック不等式を導出する。
• 重み付き関数空間におけるエネルギー推定および埋め込み定理を用いて、上界を確立する。
• 境界付近における解の挙動を分析することで、境界にまで及ぶホルダー連続性を証明する。
• Heston作用素とHeston確率的ボラティリティ過程の生成子との関係を用いて、金融的文脈での結果の解釈を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付近における退化楕円型Heston作用素を含む変分方程式の解について、どのようにホルダー連続性を確立できるか？
• RQ2 重み付きソボレフ設定における解について、どのような上界およびハルナック型不等式を導出できるか？
• RQ3 Heston作用素の退化が、変分不等式の解の正則性に及ぼす影響はどの程度か？
• RQ4 Heston作用素の解析的性質は、永続的アメリカン・オプションの価格関数とどのように関連するか？
• RQ5 障害問題を支配する楕円型Heston作用素の解について、境界正則性を達成できるか？

主な発見

• 楕円型Heston作用素によって定義される変分方程式の解は、半平面の境界付近でホルダー連続性を示す。
• 非負の解に対してハルナック不等式が確立され、退化境界付近での解の成長に対する一様な制御が保証される。
• 重み付きソボレフ空間の枠組みにおいて、解の上界が証明され、重要なL∞推定が得られる。
• 楕円型Heston作用素を含む変分不等式の解は、境界にまでホルダー連続であることが示される。
• 本研究の結果は、Hestonモデル下での永続的アメリカン・スタイル・オプションの価格関数の正則性を裏付ける。
• 境界からの距離の平方根に比例する拡散係数の退化は、重み付きソボレフ技法を用いて効果的に管理された。