[論文レビュー] Derived Higher Hochschild Homology, Topological Chiral Homology and Factorization algebras

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$(\infty,1)$-圏の文脈において、導来高次ホッフダールホモロジー、トポロジカルチラルホモロジー、および因子化代数の間の基礎的同値性を確立する。高次ホッフダール関手が共通の定義域上でトポロジカルチラルホモロジーと自然に同値であることを証明し、トポロジカルチラルホモロジーが局所定数因子化代数と$E_n$-代数の間の同値を誘導することを示している。また、多様体の積に対するFubini型指数法則も証明している。

ABSTRACT

In this paper, we study the higher Hochschild functor and its relationship with factorization algebras and topological chiral homology. To this end, we emphasize that the higher Hochschild complex is a $(\infty,1)$-functor from the category $\hsset imes \hcdga$ to the category $\hcdga$ (where $\hsset$ and $\hcdga$ are the $(\infty,1)$-categories of simplicial sets and commutative differential graded algebras) and give an axiomatic characterization of this functor. From the axioms we deduce several properties and computational tools for this functor. We study the relationship between the higher Hochschild functor and factorization algebras by showing that, in good cases, the Hochschild functor determines a constant commutative factorization algebra. Conversely, every constant commutative factorization algebra is naturally equivalent to a Hochschild chain factorization algebra. Similarly, we study the relationship between the above concepts and topological chiral homology. In particular, we show that on their common domains of definition, the higher Hochschild functor is naturally equivalent to topological chiral homology. Finally, we prove that topological chiral homology determines a locally constant factorization algebra and, further, that this functor induces an equivalence between locally constant factorization algebras on a manifold and (local system of) $E_n$-algebras. We also deduce that Hochschild chains and topological chiral homology satisfies an exponential law, i.e., a Fubini type Theorem to compute them on products of manifolds.

研究の動機と目的

• 単体的集合とCDGAからCDGAへの$(\infty,1)$-関手としての導来高次ホッフダール関手の公理的特徴付けを提供すること。
• 導来的およびホモトピー的文脈における高次ホッフダールホモロジー、因子化代数、およびトポロジカルチラルホモロジーの間の関係を明確化すること。
• トポロジカルチラルホモロジーが局所定数因子化代数を決定し、それにより$E_n$-代数と同値であることを確立すること。
• 多様体の積におけるトポロジカルチラルホモロジーに対するFubini型定理（指数法則）を証明すること。
• 高次ホッフダール関手がCDGAと空間の圏上でトポロジカルチラルホモロジーと自然に同値であり、これにより非向き付き多様体のblob複体と関連づけること。

提案手法

• ホッフダール複体のホモトピー的・関手的性質に注目し、$(\infty,1)$-関手$CH: sSet_\infty \times CDGA_\infty \to CDGA_\infty$として高次ホッフダールホモロジーを形式化する。
• 局所性公理（除去）とホモトピー不変性を用いて高次ホッフダール関手を特徴づけ、ホモトピー上のプッシュアウトを介した計算を可能にする。
• Dwyer-Kan局所化と$(\infty,1)$-圏論を用いて、ホッフダール複体の導来構造をホモトピー的に整合的にモデル化する。
• 局所定数因子化代数のプッシュフォワードを介して、トポロジカルチラルホモロジーと導来高次ホッフダール関手の標準的同値を確立する。
• blob複体フレームワークを活用し、非向き付き多様体においてトポロジカルチラルホモロジーと同値であることを示し、主結果をより広い位相的文脈へ拡張する。
• 標準的写像に沿ったプッシュフォワードと局所定数因子化代数の構造を用いて、多様体の積におけるFubini型定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来的文脈における高次ホッフダール関手を、$(\infty,1)$-関手として公理的に特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ2 高次ホッフダールホモロジー、因子化代数、およびトポロジカルチラルホモロジーの間の明確な関係は何か？
• RQ3 トポロジカルチラルホモロジーは、局所定数因子化代数と$E_n$-代数の間の同値を誘導するか？
• RQ4 多様体の積におけるトポロジカルチラルホモロジーに対してFubini型定理（指数法則）は成立するか？
• RQ5 非向き付き多様体においてblob複体はトポロジカルチラルホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• CDGAと単体的集合の圏上で、導来高次ホッフダール関手はトポロジカルチラルホモロジーと自然に同値である。
• トポロジカルチラルホモロジーは局所定数因子化代数を決定し、その構成により多様体上の局所定数因子化代数と$E_n$-代数の間の同値が誘導される。
• Fubini型定理が成立する：$\int_{M\times N}\mathcal{A} \cong \int_M(\int_N\mathcal{A})$ は$E_d$-代数として成り立ち、ホッフダールチェーンの指数法則を一般化する。
• 任意のCDGA $A$ に対して、トポロジカルチラルホモロジー $\int_M A$ はホモトピー的不変量であるため、$M$ と $N$ がホモロジー同値である限り $\int_M A \cong \int_N A$ が成り立つ。
• 高次ホッフダール複体 $CH_{S^1}(A)$ は、古典的ホッフダール複体 $CH_\bullet(A) = A^\otimes^{\bullet+1}$ を回復する。これは古典理論との整合性を確認する。
• 非向き付き多様体において、blob複体はトポロジカルチラルホモロジーと同値であり、主な同値関係を向き付きでない状況へ拡張する。