[論文レビュー] Distributions of Statistics over Pattern-Avoiding Permutations

Michael Bukata, Ryan Kulwicki+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、132-および321-回避順列における順列統計量—上昇、下降、ピーク、ボーブ、二重上昇、二重下降—の分布を研究する。特に、132-および321-回避順列に焦点を当て、構造的分解とDyck経路との双対写像を用いて、各統計量の正確な列挙式を導出。これにより、Catalan数や組合せ的数列との新たな関係が明らかになり、特に321-回避順列におけるピークの分布および(132,321)-回避クラスにおける全6統計量の明示的公式が得られた。

ABSTRACT

We consider the distribution of ascents, descents, peaks, valleys, double ascents, and double descents over permutations avoiding a set of patterns. Many of these statistics have already been studied over sets of permutations avoiding a single pattern of length 3. However, the distribution of peaks over 321-avoiding permutations is new and we relate it statistics on Dyck paths. We also obtain new interpretations of a number of well-known combinatorial sequences by studying these statistics over permutations avoiding two patterns of length 3.

研究の動機と目的

• パターン回避順列上での古典的順列統計量—上昇、下降、ピーク、ボーブ、二重上昇、二重下降—の分布を分析すること。
• 既知の単一パターン回避（例：321-回避順列）に関する結果を、特に(132,321)-回避順列という二パターン回避の場合に拡張すること。
• 二パターン回避クラス上でのこれらの統計量の研究を通じて、よく知られた数列の新しい組合せ的解釈を確立すること。
• 順列統計量とDyck経路との関係を探索すること、特に321-回避順列におけるピーク数が経路構造とどのように関連するかに注目すること。

提案手法

• (132,321)-回避順列を、増加列の直和およびスケール和を含む形に構造的分解すること。
• 逆と補完の対称性を用いて、異なるパターンクラス間での上昇や下降の統計量分布を関連付けること。
• 最大要素の位置と初期の増加セグメントの構造に基づく、S_n(132,321)内順列の帰納的構成法。
• パrameter化された形（例：I_a ⊖ I_b ⊕ I_{n-a-b}）における組合せ的数え上げを用いて、統計量の値ごとの順列の列挙。
• ピーク数とDyck経路統計量との間の双対写像に基づく推論。
• 既知のCatalan数およびDyck経路に関する結果の応用により、導出された分布の解釈と検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 321-回避順列におけるピークの分布は何か？また、Dyck経路とはどのように関連するか？
• RQ2 (132,321)-回避クラスにおける二重上昇および二重下降の分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 (132,321)-回避順列でk個の上昇、下降、ピーク、ボーブをもつ順列の正確な数は何か？
• RQ4 二パターン回避順列上での統計量から、既知の数列の新しい組合せ的解釈を導くことができるか？

主な発見

• S_n(132,321)に属する順列の数はちょうど –n choose 2– + 1 であり、恒等写像を除く –n choose 2– 個の順列が存在する。
• S_n(132,321)における上昇の分布は、k = n-1（恒等写像）で1、k = n-2で –n choose 2–、それ以外では0。
• ピークの分布は、k = 0（ピークなし）でn、k = 1で –n-1 choose 2–、それ以外では0。
• ボーブの分布は、k = 0で2、k = 1で –n choose 2– - 1、それ以外では0。
• 二重上昇の数は、k = n-2で1、k = n-3でn、k = n-4で –n choose 2– - n、それ以外では0。
• すべてのS_n(132,321)の順列は、321パターンを回避するため、二重下降を0個もつ。