[论文解读] Domain Theory for Modeling OOP: A Summary

Moez A. AbdelGawad|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出了面向对象编程（OOP）的域理论基础，引入了COOP作为OOP的结构化模型，以及NOOP作为命名类型扩展。通过递归域方程和连续域构造器（并、积、函数空间），构建了无限自引用对象的最小不动点解，证明了主流OOP语言中继承与子类型关系的形式等价性。

ABSTRACT

Domain theory is `a mathematical theory that serves as a foundation for the semantics of programming languages'. Domains form the basis of a theory of partial information, which extends the familiar notion of partial function to encompass a whole spectrum of "degrees of definedness", so as to model incremental higher-order computation (i.e., computing with infinite data values, such as functions defined over an infinite domain like the domain of integers, infinite trees, and such as objects of object-oriented programming). General considerations from recursion theory dictate that partial functions are unavoidable in any discussion of computability. Domain theory provides an appropriately abstract setting in which the notion of a partial function can be lifted and used to give meaning to higher types, recursive types, etc. NOOP is a domain-theoretic model of nominally-typed OOP. NOOP was used to prove the identification of inheritance and subtyping in mainstream nominally-typed OO programming languages and the validity of this identification. In this report we first present the definitions of basic domain theoretic notions and domain constructors used in the construction of NOOP, then we present the construction of a simple structural model of OOP called COOP as a step towards the construction of NOOP. Like the construction of NOOP, the construction of COOP uses earlier presented domain constructors.

研究动机与目标

• 建立一个形式化的、基于域理论的面向对象编程基础，以捕捉部分信息和增量计算。
• 使用域理论将OOP中的递归自引用对象建模为无限数据值。
• 构建COOP作为OOP的简化结构化模型，作为构建NOOP的垫脚石。
• 使用域理论语义，正式证明在命名类型OOP语言中，继承与子类型是等价的。
• 为OOP中高阶、递归及部分定义的对象值提供严谨的数学框架以进行推理。

提出的方法

• 以域理论为基础，将计算值建模为具有近似序的偏序集（posets）的元素。
• 定义域构造器：合并和（+）、积（∗）、函数空间（→）和记录（↦），用于从简单域构建复杂域。
• 将COOP对象域O构造为递归域方程的最小不动点：O = B + L ↦ (O∗ → O)，其中B为基域，L为标签域。
• 通过迭代近似序列O₀, O₁, ... 应用最小不动点（lfp）构造，其中O₀ = ∅，Oᵢ₊₁使用连续域构造器定义。
• 通过保证构造器的连续性，确保序列的上确界（lub）存在，即解为O = ⋃ᵢ≥₀ Oᵢ。
• 采用标准域理论技术，包括逆极限和不动点定理，以确保递归对象定义的语义是良定义的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用域理论形式化建模具有递归自引用对象的面向对象程序？
• RQ2 部分信息和近似序在建模对象状态和方法调用中的作用是什么？
• RQ3 如何使用域构造器和递归域方程构建结构化OOP模型（COOP）？
• RQ4 在命名类型OOP中，继承与子类型之间的正式关系是什么？能否使用域理论语义加以证明？
• RQ5 如何在形式语义中对无限数据值（如具有自引用的对象）进行有意义的表示和推理？

主要发现

• COOP模型作为递归域方程的最小不动点构造，确保了具有递归方法定义的对象的语义是良定义的。
• COOP域方程的解由所有近似值的并集给出：O = ⋃ᵢ≥₀ Oᵢ，构成一个完整且连续的域。
• 使用连续域构造器（并、积、函数空间）确保了不动点构造的有效性，并产生一个良定义的域。
• 该构造表明OOP中的对象可被建模为部分的、增量的值，其中⊥表示发散或未定义状态。
• 该框架为证明在命名类型OOP中继承与子类型形式等价提供了正式基础，这是类型系统理论中的关键结果。
• 该方法可推广至NOOP，即命名类型OOP的域理论模型，表明此类模型可基于域理论原则严谨构造。