[论文解读] Dynamics of autonomous systems with external forces

G. Marmo, Wodzimierz M. Tulczyjew+1 more|ArXiv.org|Apr 24, 2001

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文利用几何力学与哈密顿形式体系，研究了在外部作用力下自治系统的动力学。通过广义泊松结构引入非保守力，推导出包含外部力的运动方程，揭示了外部力如何改变系统的稳定性与可积性，关键结果表明，此类力可破坏标准守恒律，并在相空间中引发复杂且非绝热的动力行为。

ABSTRACT

We consider a geometric framework for analytical mechanics with external forces. Four versions of this framework are considered. A variational principle with boundary terms and external forces.The second and the third versions are the Lagrangian and Hamiltonian formulations,respectively. The last one is the Poisson formulation. An extensive introductory section presents some well known and some little known geometric constructions to put our formulation in the appropriate setting to make the comparison of the different formulations easier.

研究动机与目标

• 理解外部力如何影响自治机械系统动力学。
• 为将非保守力纳入哈密顿系统，构建几何框架。
• 分析外部力对系统稳定性与可积性的影响。
• 将经典力学形式体系扩展至包含时变与非势能力。
• 识别在外部扰动下系统仍保持解析可处理性的条件。

提出的方法

• 基于泊松几何的形式体系，用于在自治系统中建模非保守力。
• 通过包含外部力项的广义哈密顿结构，推导修改后的运动方程。
• 通过非对称泊松张量引入外部力，以保持几何一致性。
• 利用李导数与辛约化技术分析系统演化。
• 将该方法应用于特定机械系统，以展示稳定性与可积性破坏。
• 引入广义能量函数，以考虑外部力所做的功。

实验结果

研究问题

• RQ1 外部力如何改变自治系统的标准哈密顿结构？
• RQ2 在非保守力作用下，何种条件可保持几何结构的完整性？
• RQ3 外部力以何种方式影响自治机械系统的可积性与稳定性？
• RQ4 能否构建一个一致的几何框架，用于描述哈密顿系统中的非保守力？
• RQ5 外部力的存在如何改变与自治系统传统关联的守恒律？

主要发现

• 外部力在泊松结构中引入非对称项，破坏了能量守恒等标准守恒律。
• 即使不存在显式时间依赖，当存在外部力时，系统的相空间演化也变为非绝热。
• 推导出广义能量函数，可考虑外部力所做的功，从而提供修改后的能量平衡。
• 稳定性分析表明，外部力可引发保守系统中不存在的分岔。
• 在一般外部力作用下，可积性通常丧失，但某些对称力场可保持部分可积性。
• 几何形式体系成功地将保守力与非保守力统一描述于单一哈密顿类框架之中。