[論文レビュー] Dynamics of $C^1$-diffeomorphisms: global description and prospects for classification

Sylvain Crovisier|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コン pact多様体上の $C^1$-微分同相写像のグローバル分類枠組みを提案し、その空間が双曲的力学、ホモクライン接線、異次元サイクルに対応する開領域に分解されるという予想を提示する。双曲的でない主要な障害として、これらの構造が挙げられ、局所的分岐と支配的分解の分析を通じて、一般 $C^1$ 動的系の分類プログラムを推進する。主な結果には、高次元における非双曲的ホモクライン型集合とロバストな接線の存在が含まれる。

ABSTRACT

We are interested in finding a dense part of the space of $C^1$-diffeomorphisms which decomposes into open subsets corresponding to different dynamical behaviors: we discuss results and questions in this direction. In particular we present recent results towards a conjecture by J. Palis: any system can be approximated either by one which is hyperbolic (and whose dynamics is well understood) or by one which exhibits a homoclinic bifurcation (a simple local configuration involving one or two periodic orbits).

研究の動機と目的

• 双曲的力学、ホモクライン接線、異次元サイクルに対応する明確な力学的挙動を示す開領域に分解することで、$C^1$-微分同相写像の空間のグローバルな記述を構築すること。
• パリスが提起した予想に従い、任意の $C^1$-微分同相写像が、双曲的系、またはホモクライン分岐（接線または異次元サイクル）を示す系により近似可能かどうかを検討すること。
• 支配的分解とリャプノフ指数を観点として、非双曲的チェーン再帰集合およびホモクライン型集合の構造を理解すること。
• ホモクライン分岐のロバスト性と、$C^1$ 動的系における双曲的でない障害としての役割を調査すること。
• 非双曲的ホモクライン型集合が非孤立的であるか、普遍的力学を示す条件を確立することにより、一般系における複雑性を明らかにすること。

提案手法

• 構造的制御を保つように可能な $C^1$-位相を用いて、$C^1$-微分同相写像の力学を分析する。
• 閉じる補題と摂動技法を用いて、周期軌道およびその安定・不安定多様体を研究する。
• 接バンドルを制御された拡張・収縮率を持つ部分バンドルに分解するための支配的分解の概念を適用する。
• 非双曲的型集合における中心バンドル ($E^c$) 内のリャプノフ指数の役割を調査し、体積が収縮するか拡張するかを特定する。
• 局所的分岐理論とパラメータ族を用いて、ロバストなホモクライン接線と異次元サイクルを研究する。
• プハルスとロドリゲス＝エルツが導入した臨界集合を用いて、支配的分解の欠如および非双曲的挙動を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $C^1$-微分同相写像は、双曲的系またはホモクライン接線・異次元サイクルを示す系により近似可能か？
• RQ2 一般 $C^1$-非双曲的微分同相写像は、必ず非双曲的ホモクライン型集合を有するか？
• RQ3 ホモクライン型集合が「たやすくない（tame でない）」場合、ロバストな接線を有する非孤立な非双曲的型集合を含むか？
• RQ4 非双曲的ホモクライン型集合の中心バンドルで、リャプノフ指数の和が正である周期軌道が存在する条件は何か？
• RQ5 非双曲的ホモクライン型集合における最細な支配的分解が、周期軌道の最小安定次元を特定できるか？

主な発見

• 一般 $C^1$-微分同相写像において、非双曲的ホモクライン型集合は存在し、その接バンドル分解における支配的分解の不在によって特徴づけられる。
• 次元 $\dim(E^c_1) \geq 2$ の非双曲的ホモクライン型集合において、$E^c_1$ 内のリャプノフ指数の和が正であれば、最小安定次元は $\dim(E^s) + 1$ であり、型集合は $E^c_1 \oplus \cdots \oplus E^c_\ell \oplus E^u$ に接する局所的不変多様体上にある。
• $E^c_1$ 内の $\dim(E^s \oplus E^c_1) - k + 1$ 個の最大リャプノフ指数の和が負であれば、$E^c_1$ 沿いの体積は収縮し、異なる力学的構造を示す。
• 支配的分解 $E^s \oplus E^c \oplus E^u$ を持つ非周期的型集合は、必ず $\dim(E^c) \geq 2$ であり、より細かい支配的分解を許さないため、構造的剛性を示唆する。
• 次元 $\dim(M) \geq 3$ の場合、$C^1$-微分同相写像においてロバストなホモクライン接線が発生しうり、小さな摂動に対しても安定である。
• 非空の開集合の $C^1$-微分同相写像が存在し、その力学は普遍的である：任意の単位球上での微分同相写像は、多様体上の小さな球でその系の繰り返し写像により近似可能である。