[论文解读] Dynamics of holomorphic correspondences on Riemann Surfaces

Tien‐Cuong Dinh, Lucas Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 10

一句话总结

该论文在非弱模形式性条件下，证明了当全纯对应在紧致黎曼曲面上的前向与后向拓扑度相等（即 $d_1 = d_2$）时，存在两个典范的不变概率测度 $μ^{+}$ 和 $μ^{-}$。论文利用Sobolev空间中的谱性质，克服了该对称情形下谱间隙缺失的问题，证明了通用点的原像与像分别以指数速度向 $μ^{+}$ 和 $μ^{-}$ 等分布。

ABSTRACT

We study the dynamics of holomorphic correspondences $f$ on a compact Riemann surface $X$ in the case, so far not well understood, where $f$ and $f^{-1}$ have the same topological degree. Under a mild and necessary condition that we call non weak modularity, $f$ admits two canonical probability measures $μ^+$ and $μ^-$ which are invariant by $f^*$ and $f_*$ respectively. If the critical values of $f$ (resp. $f^{-1}$) are not periodic, the backward (resp. forward) orbit of any point $a \in X$ equidistributes towards $μ^+$ (resp. $μ^-$), uniformly in $a$ and exponentially fast.

研究动机与目标

• 解决前向与后向拓扑度相等时，紧致黎曼曲面上全纯对应的动力系统问题，该情形此前理解不充分。
• 在非弱模形式性条件下，建立两个典范不变概率测度 $\mu^{+}$ 和 $\mu^{-}$ 的存在性。
• 证明通用点的后向轨道与前向轨道分别以指数速度向 $\mu^{+}$ 和 $\mu^{-}$ 等分布。
• 在Sobolev空间中发展一种谱方法，以克服对称度情形下谱间隙缺失的问题。

提出的方法

• 引入非弱模形式性的概念，以排除阻碍测度构造的模形式类行为。
• 定义微分形式与测度上的拉回与前推作用 $f^*$ 和 $f_*$，并通过归一化迭代的弱极限定义典范测度 $\mu^{+}$ 和 $\mu^{-}$。
• 利用 $W^{1,2}$ Sobolev 空间上算子的谱性质，证明 $\frac{1}{d^n}(f^n)^*\alpha \to c_\alpha \mu^{+}$ 与 $\frac{1}{d^n}(f^n)_*\alpha \to c_\alpha \mu^{-}$ 的指数收敛。
• 使用Poincaré-Sobolev不等式与指数衰减估计，控制迭代函数的上范数，确保一致且快速的收敛。
• 应用Hölder连续性估计与算子范数控制，推导出等分布速率的定量界。
• 利用 $\mu^{+}$ 与 $\mu^{-}$ 分别关于 $f^*$ 与 $f_*$ 的不变性，将问题简化为分析转移算子的谱行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $d_1 = d_2$ 时，能否为黎曼曲面上的全纯对应构造典范不变测度？
• RQ2 在对称度情形下，何种条件可确保两个不同的不变测度 $\mu^{+}$ 与 $\mu^{-}$ 存在？
• RQ3 通用点的原像与像分别以多快的速度向 $\mu^{+}$ 与 $\mu^{-}$ 等分布？
• RQ4 能否将Sobolev空间中的谱方法适配于无谱间隙的系统？
• RQ5 非弱模形式性在确保典范测度的唯一性与不变性方面起什么作用？

主要发现

• 在非弱模形式性条件下，存在两个典范的概率测度 $\mu^{+}$ 与 $\mu^{-}$，分别关于 $f^*$ 与 $f_*$ 不变，且满足 $f^*\mu^{+} = d\mu^{+}$ 与 $f_*\mu^{-} = d\mu^{-}$。
• 任意光滑 $(1,1)$-形式的归一化拉回与前推在 $n \to \infty$ 时以指数速度收敛至 $c_\alpha \mu^{+}$ 与 $c_\alpha \mu^{-}$。
• 若 $f$ 的任意临界值均非周期点，则任意点 $a \in X$ 的原像以一致的指数速度向 $\mu^{+}$ 等分布。
• 等分布速率由 $\left|\left\langle d^{-n}(f^n)^*\delta_a - \mu^{+}, \varphi \right\rangle\right| \leq A^{+}_\beta \|\varphi\|_{\mathcal{C}^\beta} \lambda_+^{\beta n}$ 量化，其中 $0 < \lambda_+ < 1$。
• 证明依赖于 $\frac{1}{d}f^*$ 与 $\frac{1}{d}f_*$ 在Sobolev空间 $W^{1,2}$ 上的谱性质，从而发展出一种可绕过谱间隙缺失问题的方法。
• 若无非弱模形式性条件，结果不成立，表明该条件对典范测度的存在性而言既必要又充分。