[論文レビュー] Effective Grothendieck-Witt motives of smooth varieties

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴数 ≠ 2 の無限大の完全体 k 上の滑らか多様体に対して、Voevodsky-Suslin の手法を用いて有効 Grothendieck-Witt モチーフの圏を構成する。滑らか多様体の GW-モチーフが、GW-転送を持つホモトピー不変層の Nisnevich コホロロジーを計算することを証明し、ファイブレーション的置換を通じて、モチーフ的ホモトピー論と GW-理論の間の基本的リンクを確立する。

ABSTRACT

The category of effective Grothendieck-Witt-motives $\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ (and Witt-motives $\mathbf{DM}^W_{\mathrm{eff},-}(k)$) by Voevodsky-Suslin method starting with some category of GW-correspondences (and Witt-correspondences) over a perfect field $k$, $char\,k eq 2$, is defined. The functor $M^{GW}_{eff}\colon Sm_k o \mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ of Grothendieck-Witt-motives of smooth varieties is computed and it is proved that for any smooth scheme $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $F$ $$ Hom_{\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F) $$ naturally in $X$ and $F$.

研究の動機と目的

• 特徴数 ≠ 2 である体 k 上の滑らか多様体に対して、有効 Grothendieck-Witt モチーフの圏 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ を定義すること。
• Voevodsky-Suslin の手法を GW-対応へ拡張し、二次形式構造を持つモチーフのホモトピー論的構成を可能にすること。
• GW-モチーフ圏における射の集合と、GW-転送を持つホモトピー不変層の Nisnevich コホロロジーとの間の自然同型を確立すること。
• Witt-モチーフの圏に対するファイブレーション的置換モデルを提供し、それが有理的安定モチーフ的ホモトピー圏と整合するようにすること。

提案手法

• 複体のホモトピー不変層コホロロジーを持つものからなる $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ のフル部分圏として、$\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ を構成する。
• 滑らか多様体 $X$ の有効 GW-モチーフ $M^{GW}_{eff}(X)$ を、$\Delta^{\bullet}$ を標準的コシンプルシアルスキームとするとき、複体 $\mathcal{H}om_{\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))}(\Delta^{\bullet}, {GWCor}_{nis}(-,X))$ として定義する。
• 転送構造と整合するように、前層 $GWCor(-,X)$ の Nisnevich 層化を $GWCor_{nis}(-,X)$ として行う。
• 無限大の完全体上での $GWCor_k$ の厳密なホモトピー不変性を用いて、導来圏におけるホモトピー不変性公理が成立することを保証する。
• $\mathbb{A}^1$-収縮と $\mathbb{A}^1$-不変性を用いて、$\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ の半直交分解を確立し、モチーフ的複体の圏への局所化を可能にする。
• $C^* = \mathcal{H}om(\Delta^\bullet, -)$ をモチーフ的複体への埋め込みの左随伴関手として適用し、望ましいモチーフ的圏を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴数 ≠ 2 である体上の滑らか多様体に対して、Voevodsky-Suslin の手法をどのように有効 Grothendieck-Witt モチーフの圏を構成するために適応できるか？
• RQ2 滑らか多様体の GW-モチーフと、GW-転送を持つホモトピー不変層の Nisnevich コホロロジーとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 有効 GW-モチーフの圏は、GW-転送を持つ Nisnevich 層の導来圏のフル部分圏として記述可能か？
• RQ4 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ の構成は、Witt-モチーフの圏に対するファイブレーション的置換モデルをもたらすか？
• RQ5 ホモトピー不変層 $F$ が GW-転送を持つとき、$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i])$ と $H^i_{nis}(X, F)$ の間に自然な同型が存在するか？

主な発見

• 圏 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ は、ホモトピー不変層コホロロジーを持つ複体からなる $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ のフル部分圏と同値である。
• 滑らか多様体 $X$ の有効 GW-モチーフ $M^{GW}_{eff}(X)$ は、自然に複体 $[\cdots \to {GWCor}_{nis}(-\times\Delta^i, X) \to \cdots \to {GWCor}_{nis}(-, X)]$ に同型である。ここで $\Delta^i$ はアフィン単体である。
• すべての $i \geq 0$、$X \in Sm_k$、および GW-転送を持つホモトピー不変層 $F$ に対して、自然な同型 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F)$ が成り立つ。
• この構成は、Nisnevich Mayer-Vietoris 公理および $\mathbb{A}^1$-ホモトピー不変性公理を満たしており、モチーフ的コホロロジーに対して適切に振る舞うことが保証される。
• $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ の半直交分解 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor)) = \langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$ が存在し、ここで $\mathcal{A}$ はモチーフ的複体の圏である。
• この結果により、Witt-モチーフの圏に対するファイブレーション的置換モデルが得られ、構成された圏 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ は安定モチーフ的ホモトピー圏を通じて有理的同値に $\mathbf{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ と一致する。