[論文レビュー] Effects of quantum resources on the statistical complexity of quantum circuits

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 61被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ラドマッハーやガウス型複雑度測度を用いて、量子回路の統計的複雑度に及ぼす量子リソース（特にTゲートおよびCCZゲート）の影響を調査する。量子チャネルを追加した際の複雑度の増加は、そのチャネルのフリー・ロバストネスによって上界が定められ、量子機械学習モデルの一般化誤差に対してタイトな境界を与える。

ABSTRACT

We investigate how the addition of quantum resources changes the statistical complexity of quantum circuits by utilizing the framework of quantum resource theories. Measures of statistical complexity that we consider include the Rademacher complexity and the Gaussian complexity, which are well-known measures in computational learning theory that quantify the richness of classes of real-valued functions. We derive bounds for the statistical complexities of quantum circuits that have limited access to certain resources and apply our results to two special cases: (1) stabilizer circuits that are supplemented with a limited number of T gates and (2) instantaneous quantum polynomial-time Clifford circuits that are supplemented with a limited number of CCZ gates. We show that the increase in the statistical complexity of a quantum circuit when an additional quantum channel is added to it is upper bounded by the free robustness of the added channel. Finally, we derive bounds for the generalization error associated with learning from training data arising from quantum circuits.

研究の動機と目的

• 量子リソースの追加が量子回路の統計的複雑度に与える影響を理解すること。
• TやCCZゲートのような非安定化リソースが、量子機械学習における学習モデル容量に与える影響を定量化すること。
• 統計的複雑度測度を用いて、量子回路ベースの学習モデルの一般化誤差境界を導出すること。
• フリー・ロバストネスを通じて、量子リソース理論と計算学習理論の間の接続を確立すること。

提案手法

• ラドマッハーやガウス型複雑度を、量子回路族の統計的複雑度の測度として用いる。
• 量子リソース理論を適用し、チャネルを追加した際の複雑度増加を、そのチャネルのフリー・ロバストネスを主要パrameterとして上界で制限する。
• 制限されたTゲート数を有する安定化回路および制限されたCCZゲート数を有するインスタントリウス・量子多項式（IQP）回路の境界を導出する。
• マサールトの補題および複雑度測度の凸性を用いて、サンプル依存および分布依存の境界を導出する。
• 絶対値を含む複雑度の代替定義を検討し、異なる定式化においても結果のロバストネスを示す。
• フリー・ロバストネス測度 γ(Ψ) を用いてリソースコストを定量化し、複雑度増加の乗法的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのTゲートを追加した場合、安定化回路の統計的複雑度はどの程度増加するか？
• RQ2 CCZゲートは、インスタントリウス・量子多項式（IQP）回路の複雑度をどの程度増加させるか？
• RQ3 量子チャネルのフリー・ロバストネスは、統計的複雑度の増加に対してタイトな上界として機能するか？
• RQ4 量子回路における非安定化リソースゲートの数に伴い、ラドマッハーやガウス型複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 リソース豊富な回路が使用された場合、量子機械学習における一般化誤差にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 量子チャネル Ψ を追加した場合、量子回路の統計的複雑度は、γ(Ψ) をそのフリー・ロバストネスとして、最大で (1 + γ(Ψ)) 倍に増加する。
• Tゲートが高々 k 個の安定化回路において、ラドマッハーコンプレックスは、出力ノルムが有界であると仮定すると、O((k log n)^{1/2}) / √m で上界が与えられる。
• CCZゲートが高々 k 個のIQP回路において、回路族のサイズは 2^{O(n²)} n^{3k} で上界が与えられ、複雑度境界は O((n² + k log n)^{1/2}) / √m にスケーリングする。
• ガウス型複雑度に対しても同様の境界が成り立ち、フリー・ロバストネスおよび回路リソース数に同じ依存関係を示す。
• 複雑度定義に絶対値を含めた場合、境界は min{(1 + 2γ(Ψ))^k, 1 + 2γ_max,n} の係数でスケーリングする。ここで γ_max,n は n-qubit チャネルにおける最大フリー・ロバストネスを表す。
• 量子回路モデルの一般化誤差境界が導出され、追加されたリソースチャネルのフリー・ロバストネスに比例してスケーリングすることが示された。