[論文レビュー] Endomorphism algebras of admissible p-adic representations of p-adic Lie groups

Gabriel Dospinescu, Benjamin Schraen|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、p進Lie群の不可約で適切なp進バナッハ空間表現および局所解析的表現に対してシュールの補題を確立し、その自己準同型代数が底体上での有限次元除法代数であることを証明する。主な結果はシュールの補題をp進設定へ拡張するものであり、p進表現論における長年の欠落を埋め、p進Langlandsプログラムにおけるより深い構造的解析を可能にする。

ABSTRACT

Building on recent work of Ardakov and Wadsley, we prove Schur's lemma for absolutely irreducible admissible p-adic Banach space (respectively locally analytic) representations of p-adic Lie groups. We also prove finiteness results for the endomorphism algebra of an irreducible admissible representation.

研究の動機と目的

• p進Lie群の不可約で適切なバナッハ空間および局所解析的表現に対するp進設定におけるシュールの補題を確立すること。
• 不可約で適切な表現の自己準同型代数が底体L上の有限次元除法代数であることを証明すること。
• 任意の不可約で適切な表現が、底体の有限ガロア拡大をとることで、絶対的に不可約な表現の有限直和に分解されることを示すこと。
• 自己準同型代数に関する構造的問題を解消することで、p進Langlands対応の基礎的道具を提供すること。

提案手法

• アーダコフとワッドズリーによる、ほぼ可換なアフィノイドL代数に対するキーランの補題に関する最近の結果を活用する。
• PI-除法代数に関するカプランスキーの定理を適用し、自己準同型代数の有限次元性を導出する。
• バーレーの補題を用いて、Qp上可算次元のフレシェ代数が有限次元であることを示す。
• コンパクト開部分群Hに対し、適切な局所解析的表現とco-admissible D(H,L)-加群の間の双対性に依拠する。
• 双対空間上の自己準同型代数の逆極限を通じて、自己準同型代数にフレシェ代数構造を構成する。
• Πに関するEnd_{L[G]}(Π)とその双対co-admissible加群の自己準同型代数の反対代数との標準的同型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進Lie群の不可約で適切なp進バナッハ空間表現に対してシュールの補題は成立するか？
• RQ2 不可約で適切な表現の自己準同型代数は、底体L上で有限次元であるか？
• RQ3 任意の不可約で適切な表現は、Lの有限ガロア拡大上で、絶対的に不可約な表現の直和に分解可能か？
• RQ4 絶対的に不可約なバナッハ表現における局所解析的ベクトルの空間が有限長を持ち、自明な自己準同型代数を持つだろうか？

主な発見

• Qp-解析的群の任意の不可約で適切なバナッハ空間表現または局所解析的表現の自己準同型代数は、底体L上の有限次元除法代数である。
• 不可約で適切な表現が絶対的に不可約であることと、その自己準同型代数がちょうどLに一致することは同値である。
• 有限ガロア拡大L′/Lをとることで、任意の不可約で適切な表現はL′上での絶対的に不可約な表現の有限直和に分解される。
• 自己準同型代数は自然にフレシェ代数であり、その有限次元性はバーレーの補題とPI代数に関するカプランスキーの定理から従う。
• この結果により、絶対的に不可約な適切な表現は中心的特徴をもち、局所解析的の場合には無限小的特徴を持つことが示唆される。
• 証明により、このような表現の任意の自己準同型がL上代数的であることが示され、これは重要な技術的ステップである。