[论文解读] Equigeneric and equisingular families of curves on surfaces

Thomas Dedieu, Edoardo Sernesi|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 24

一句话总结

本文研究了光滑复代数曲面上的积分曲线在保持其几何亏格的前提下能否形变为节点曲线——这是代数几何中关于等亏格族与等奇点族的核心问题。作者通过变形理论与模空间分析，肯定地解决了对德尔·皮索（Del Pezzo）与希茨布吕赫（Hirzebruch）曲面的情形，部分解决了对K3曲面的情形，表明在许多情况下，等亏格族的一般成员是节点曲线。

ABSTRACT

We investigate the following question: let $C$ be an integral curve contained in a smooth complex algebraic surface $X$; is it possible to deform $C$ in $X$ into a nodal curve while preserving its geometric genus? We affirmatively answer it in most cases when $X$ is a Del Pezzo or Hirzebruch surface, and in some cases when $X$ is a $K3$ surface. Partial results are given for all surfaces with numerically trivial canonical class. We also give various examples for which the answer is negative.

研究动机与目标

• 确定光滑复曲面上的积分曲线是否能在保持其几何亏格的前提下形变为节点曲线。
• 理解由固定几何亏格定义的等亏格曲线族的结构，及其与节点曲线的塞韦里（Severi）簇的关系。
• 研究变形空间中等奇点子簇的预期余维数与光滑性，特别是当从全局变形空间到奇点局部变形空间的限制映射不光滑时的情形。
• 识别在具有数值平凡 canonical 类的曲面上，等亏格族的一般成员为节点或浸入曲线的条件。
• 提供反例，说明等亏格族的一般成员并非节点曲线，突出显示超丰与非约化分支的情形。

提出的方法

• 使用变形理论分析曲面上曲线族的局部与整体行为，重点关注从全局变形空间到奇点局部变形空间乘积的限制映射。
• 应用奇点的 étale 半普遍变形（如节点、尖点）概念，研究等奇点子簇及其余维数。
• 采用预期余维数公式：对于几何亏格为 $ g $ 且算术亏格为 $ p_a(\theta) $ 的曲线，等亏格族 $ V^\theta_g $ 的预期余维数为 $ p_a(\theta) - g $，在节点情形下等于节点数。
• 分析限制映射 $ r: W \to \bigprod_i B_i $ 的光滑性，其中 $ W $ 是模空间中 $[C]$ 的邻域，以判断等亏格族是否继承自等奇点子簇的良好几何性质。
• 利用 Arbarello–Cornalba、Zariski、Harris 与 Wahl 的已知结果，在特定曲面类（如 $ \bb{P}^2 $、希茨布吕赫、德尔·皮索、K3、恩里克斯、阿贝尔曲面）中建立肯定答案。
• 通过希尔伯特概形分析与具有曲线上奇异性的曲面的通用投影，构造反例，表明某些塞韦里型概形中存在可约性与非约化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑复曲面上的每条积分曲线是否都能在保持几何亏格的前提下形变为节点曲线？
• RQ2 在曲面具有数值平凡 canonical 类时，等亏格族 $ V^\theta_g $ 的一般成员在何种条件下为节点曲线？
• RQ3 从全局变形空间到奇点局部变形空间乘积的限制映射在何种情况下不光滑？这对 $ V^\theta_g $ 的几何有何影响？
• RQ4 在哪些情形下等奇点族的维数不符合预期？塞韦里型概形中出现超丰或非约化性的原因是什么？
• RQ5 能否构造出等亏格族的一般成员非节点的显式例子？此时会出现何种类型的奇点？

主要发现

• 对于 $ X = \bb{P}^2 $，当 $ n \geq 1 $ 且 $ 0 \leq g \leq p_a(nL) $ 时，$ V^{nL}_g $ 的每个不可约分支都包含一个节点曲线的稠密开子集，此结论由 Arbarello–Cornalba 与 Zariski 建立。
• 在度数为 $ d $ 的希茨布吕赫曲面上，当 $ 0 \leq g \leq p_a(L) $ 时，$ V^L_g $ 的每个不可约分支都包含一个节点曲线的稠密开子集，此结论由 Harris 证明。
• 在度数为 $ d $ 的德尔·皮索曲面上，$ V^{-nK_X}_g $ 的每个不可约分支的一般成员为节点曲线，除非 $ dn \leq 3 $，此时仅在 $ d = n = 1, g = 0 $ 时存在例外。
• 在具有 $ L^2 = 2p - 2 $ 的非常一般 K3 曲面上，当 $ p/2 < g \leq p $ 时，$ V^L_g $ 的一般成员为节点曲线；当 $ kL $ 且 $ k \geq 1 $ 时，一般成员为浸入曲线，若其正规化非三线性，则为节点曲线。
• 在恩里克斯曲面上，若 $ 3 \leq g \leq p_a(L) $ 且正规化具有 Clifford 指数 $ \geq 5 $，则 $ V^L_g $ 的一般成员为节点曲线。
• 在阿贝尔曲面上，当 $ 2 < g \leq p_a(\xi) $ 时，$ V^\xi_g $ 的一般成员为浸入曲线，若其正规化非三线性，则为节点曲线；存在反例表明 $ V_{d,n,\kappa} $ 可能可约或非约化，例如 $ V_{104,3636,900} $ 拥有一个维数为 174（预期为 128）的非约化分支。