[論文レビュー] Equivariant geometry and the cohomology of the moduli space of curves

Dan Edidin|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、代数的スタックの整数係数コホモロジー環を定義するためのカテゴリー的枠組みを導入し、商スタックの場合はその同値コホモロジーと一致することを示す。滑らかな商スタック、たとえば安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_g$ の有理コホモロジーが、それらの粗モジュライ空間の有理コホモロジーと同型であることを証明し、特異なモジュライスキーム上での有理チャウ環を通じて交線理論を可能にする。

ABSTRACT

In this expository article we give a categorical definition of the integral cohomology ring of a stack. We show that for quotient stacks the categorical cohomology may be identified with equivariant cohomology. Via this identification we show that for Deligne-Mumford quotient stacks this cohomology is rationally isomorphic to the rational cohomology of the coarse moduli space. The theory is presented with a focus on the stacks of smooth and stable curves.

研究の動機と目的

• モジュライスタックが通常の空間でないため、曲線のモジュライスタックにおけるコホモロジーの定義に関する基礎的問題を解決すること。
• 整数係数で動作する関手的・代数的なコホモロジーおよびチャウ環の定義を提供すること。
• デリーニ＝ムーマークスタックとその粗モジュライ空間の間の有理同型を確立すること、特に $\mathcal{M}_g$ および $\overline{\mathcal{M}}_g$ の場合に焦点を当てる。
• モジュライの曲線におけるタウトロジカルクラスが自然に関手的コホモロジーリングに属することを示し、粗モジュライ空間の有理チャウ環が整合的な交線積を備えること。

提案手法

• 群のファイブレーションを備えた圏のコホモロジーを、同値コホモロジーを一般化するカテゴリー的・関手的アプローチにより定義する。
• 商スタック $[X/G]$ のコホモロジーリングを同値コホモロジー $H^*_G(X)$ と同一視し、整数係数での代数的技法を可能にする。
• 同値チャウ理論を用いて、特にモジュライスタック $\mathcal{M}_g$ および $\overline{\mathcal{M}}_g$ の整数係数チャウ環を定義する。
• 滑らかな商スタックでは、サイクル上の次数を保存する写像を通じて、有理コホモロジー群が粗モジュライ空間のそれと同型であることを証明する。
• 同値的手法を用いて交線数を計算し、たとえば $∫_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$ を、$\mathbb{C}^*$-作用を伴う $X = \mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ の重みと安定化子を分析することで得る。
• 0次サイクルの次数が、粗モジュライ空間の有理チャウ群への像を通じて定義され、非整数（例：$1/24$）を取り得ることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的スタック、特にスキームでない場合に、一貫性があり整数係数のコホモロジー理論をどのように定義できるか。
• RQ2 デリーニ＝ムーマークスタック $\mathcal{X}$ の有理コホモロジーが、その粗モジュライ空間 $M$ のそれとどの程度一致するか。
• RQ3 モジュライの曲線におけるタウトロジカルクラスが、自然に関手的コホモロジーリングに埋め込めるか。
• RQ4 群作用を伴うスキームの同値チャウ環と、それに対応する商スタックのチャウ環との正確な関係は何か。
• RQ5 特異な粗モジュライ空間 $\overline{M}_g$ 上での交線数を、スタック論的技法を用いてどのように計算できるか。

主な発見

• 滑らかな商スタック $[X/G]$ の有理コホモロジーリングは、その粗モジュライ空間の有理コホモロジーリングと同型である。
• 粗モジュライ空間 $\overline{M}_g$ の有理チャウ環は、スタックコホモロジーを通じて整合的な交線積を備える。
• デリーニ＝ムーマークスタック上の0次サイクルの次数は、その粗モジュライ空間の有理チャウ群への像を通じて定義され、非整数（例：$1/24$）を取り得る。
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ の整数係数チャウ環は $\mathbb{Z}[t]/24t^2$ であるのに対し、その粗モジュライ空間 $\mathbb{P}^1$ のそれは $\mathbb{Z}[h]/h^2$ であり、$\mathbb{Z}$ 上では同型ではないことが示される。
• $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$ という交線数は、$\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ に $\mathbb{C}^*$-作用を伴い、重み (4,6) を持つ同値手法を用いて計算される。
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ の有理チャウ環における単位元は、一般の楕円曲線に作用する $\mu_2$-作用のため、$\frac{1}{2}[\mathbb{P}^1]$ に対応する。