[論文レビュー] Equivariant split generation and mirror symmetry of special isogenous tori

Weiwei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由な有限群作用をもつシンプレクティック多様体に対して、Fukaya圏における等長的分裂生成を確立し、非分裂シンプレクティック形式をもつ特別な同種トーラスに対するホモロジカルミラー双対性の新たなケースを可能にする。導来Fukaya圏がこれらのトーラスの完全不変量であることを証明し、Abouzaid-Smithの結果を$G$-等長的枠組みとミラー関手の削減を用いて拡張する。

ABSTRACT

We prove a version of equivariant split generation of Fukaya category when a symplectic manifold admits a free action of a finite group $G$. Combining this with some generalizations of Seidel's algebraic frameworks from Seidel's book, we obtain new cases of homological mirror symmetry for some symplectic tori with non-split symplectic forms, which we call extit{special isogenous tori}. This extends the work of Abouzaid-Smith. We also show that derived Fukaya categories are complete invariants of special isogenous tori.

研究の動機と目的

• 自由な有限群作用の下でのFukaya圏に対する等長的分裂生成基準を構築すること。
• 非分裂シンプレクティック形式をもつシンプレクティックトーラスへホモロジカルミラー双対性を拡張すること、これを「特別な同種トーラス」と呼ぶ。
• 導来Fukaya圏が特別な同種トーラスの完全不変量であることを確立すること。
• $G$-作用の下でSeidelの代数的枠組みをミラー関手に一般化すること。
• 鏡像トーラスの導来同倣が、それらのシンプレクティック形式のシンプレクティック同型に正確に対応することを証明すること。

提案手法

• 埋め込みFukaya圏の技術的置換として、等長的Fukaya圏$\mathcal{F}uk(X)^G$を導入する。
• Abouzaidの生成基準の$G$-等長的版を証明する：$\mathcal{B} \subset \mathcal{F}uk(X)$が対角を分解するならば、$G \cdot \mathcal{B}$は$\mathcal{F}uk(X)^G$を分裂生成する。
• Floer理論的転送写像を用いて、完全忠実な転送関手$\mathcal{T}: \mathcal{F}uk(\overline{X}) \to \mathcal{F}uk(X)^G$を構成する。
• 固定点のカテゴリに還元されたミラー関手$\mathfrak{m}^{fix}$を、全忠実性を保つように$\mathfrak{m}: D^\pi \mathcal{F}uk(X) \to D^b Coh(X^\vee)$に還元する。
• 格子と$GL(2n,\mathbb{Z})$内での行列同倣を用いて、シンプレクティック形式と鏡像トーラスの導来カテゴリを関連付ける。
• 行列$\begin{pmatrix} 0 & Q_B^T \\ -Q_B & 0 \end{pmatrix}$が$GL(2n,\mathbb{Z})$に関して$\begin{pmatrix} 0 & Q_A^T \\ -Q_A & 0 \end{pmatrix}$に同倣であることは、鏡像トーラスが導来同倣であるための必要十分条件である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群商の下で分裂生成集合の像が、商多様体のFukaya圏をまだ分裂生成するか？
• RQ2 等長的分裂生成は、非分裂シンプレクティック形式をもつシンプレクティックトーラスへのホモロジカルミラー双対性の拡張に用いられるか？
• RQ3 導来Fukaya圏は特別な同種トーラスの完全不変量か？
• RQ4 シンプレクティック側の$G$-作用がミラー関手を固定点カテゴリに還元する仕組みは何か？
• RQ5 特別な同種トーラスが線形的にシンプレクティック同型であるための、格子データを用いた正確な代数的条件は何か？

主な発見

• 等長的分裂生成基準が成立する：$\mathcal{B} \subset \mathcal{F}uk(X)$が対角を分解するならば、$G \cdot \mathcal{B}$は$\mathcal{F}uk(X)^G$を分裂生成する。
• 完全忠実な転送関手$\mathcal{T}: \mathcal{F}uk(\overline{X}) \to \mathcal{F}uk(X)^G$が存在し、商から等長的カテゴリへの移行を可能にする。
• $\mathcal{B}$が対角を分解し、すべての$L \in \mathcal{B}$に対して$\pi(L)$が埋め込まれているならば、$\pi(\mathcal{B})$は$\mathcal{F}uk(\overline{X})$を分裂生成する。
• 導来Fukaya圏$D^\pi \mathcal{F}uk(X/G)$は特別な同種トーラスの完全不変量である。
• 2つの特別な同種トーラス$T(\bar{\alpha})_l$と$T(\bar{\alpha}')_{l'}$は、線形的にシンプレクティック同型であるための必要十分条件は、それらの導来カテゴリが同倣であることである。
• シンプレクティック形式行列$\Omega_l^{\bar{\alpha}}$と$\Omega_{l'}^{\bar{\alpha}'}$が$GL(2n,\mathbb{Z})$に関して同倣であることは、対応する鏡像トーラスが導来同倣であることの必要十分条件である。