[논문 리뷰] Ergodic Kneser-type Theorems for amenable groups

Michael Björklund, Alexander Fish|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 09.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가산 적으로 애먼 군에 대해 Kneser 유형의 에르고딕 정리들을 확립한다. 가산 적으로 애먼 군 $G$의 에르고딕 측도 보존 작용에 대해, 작용 집합 $AB$ 의 측도는 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 를 만족하며, 여기서 $d^*(A)$ 는 $A$ 의 상한 반반 측도이다. 이는 Kneser의 고전적 밀도 정리가 애먼 군으로 일반화된 것으로, 극값 경우는 슈투르미안 집합을 통해 특성화된다.

ABSTRACT

We study in this paper expander sets for ergodic probability measure-preserving actions of countable amenable groups. Among other things, we show that if $G$ is a countable amenable group, $(Y, u)$ is an ergodic probability-measure preserving of $G$ and $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic set, then, for every Borel $B \subset Y$ with positive $ u$-measure, we have \[ u(AB) \geq \min(1,d^*(A) + u(B) \big), \] where $AB$ denotes the action set $\cup_{a \in A} aB \subset Y$ and $d^*(A)$ the (left) upper Banach density of $A$. Furthermore, if every finite-index subgroup of $G$ acts ergodically on $(Y, u)$, and if the lower bound above is attained for some Borel $B$, then $A$ must be contained in a Sturmian set (a very well-structured Bohr set) with the same upper Banach density as $A$. We apply these results to problems in additive combinatorics concerning asymptotic densities of product sets in $G$. More specifically, we show that if $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic large set, then for \emph{any} (left) F{\o}lner sequence $(F_n)$ in $G$ and for every syndetic $B \subset G$, we have \[ \underline{d}_{(F_n)}(AB) \geq \min(1,d^*(A) + \underline{d}_{(F_n)}(B) \big), \] where $\underline{d}_{(F_n)}(A)$ denotes the lower asymptotic density of $A$ along $(F_n)$. This may be viewed as a generalization of the Kneser's celebrated density theorem on sets of small doubling in $(Z,+)$ to arbitrary countable amenable groups. [For a longer abstract, see the article].

연구 동기 및 목표

• 가산 적으로 애먼 군으로 Kneser의 고전적 밀도 정리(정수군 $\mathbb{Z}$ 에서의 작은 두배 집합에 대한 것)를 일반화한다.
• 에르고딕 $G$-작용에서, 작용 집합 $AB$ 의 측도에 대한 하한을 $A$ 의 상한 반반 측도와 $B$ 의 측도에 따라 설정한다.
• 이 부등식에서 등호가 성립할 조건을 특성화하여, 등호가 성립할 경우 $A$ 는 같은 상한 반반 측도를 가진 슈투르미안 집합에 포함되어야 함을 보인다.
• 결과를 F{\

제안 방법

• 가산 적으로 애먼 군의 확률 공간 위에서 측도 보존 작용을 분석하기 위해 에르고딕 이론을 사용한다.
• 집합 $A \subset G$ 에 대해 상한 반반 측도 $d^*(A)$ 를 정의하고, 이를 집합의 크기를 측정하는 데 활용한다.
• 측도가 양인 Borel 집합 $B \subset Y$ 에 대해 부등식 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 를 증명한다.
• 등호가 성립할 경우의 극값 구성요소로, 잘 정렬된 보어 집합인 슈투르미안 집합의 개념을 도입하고 활용한다.
• 결과를 F{\

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $A \subset G$ 와 $u(B) > 0$ 인 Borel 집합 $B \subset Y$ 에 대해, 작용 집합 $AB$ 의 최소 가능한 측도는 무엇인가?
• RQ2 부등식 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 가 등호로 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 에르고딕 작용을 하는 군 $G$ 에서 등호가 성립하기 위해 필요한 $A \subset G$ 의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 F{\

주요 결과

• 모든 가산 적으로 애먼 군 $G$ 의 에르고딕 확률 측도 보존 작용과 임의의 측도가 양인 Borel 집합 $B \subset Y$ 에 대해, 작용 집합의 측도는 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 를 만족하며, 여기서 $AB = \bigcup_{a \in A} aB$ 이다.
• 모든 유한 지표 부분군이 $(Y, u)$ 에서 에르고딕으로 작용하고, 어떤 $B$ 에 대해 부등식의 등호가 성립한다면, $A$ 는 $A$ 와 같은 상한 반반 측도를 가진 슈투르미안 집합에 포함된다.
• 부등식 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 는 $G$ 의 모든 에르고딕 작용에 대해 균일하게 성립하며, 이는 Kneser의 정리를 애먼 군으로 일반화한다.
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