[논문 리뷰] Exact Calculation of the Mean-Square Error in the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic integrals, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 임의의 다중성 $k$를 가진 반복 이토 스토케스틱 적분을 $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 근사할 때 정확한 평균제곱오차 계산을 제시한다. 푸리에-레지온드르 및 삼각함수 급수 전개 모두에서 확률 1 수렴을 확립하여, 이토 SDE 및 트레이스 클래스 노이즈를 가진 비가환 선형성 SPDE에 대한 더 효율적인 고차 강한 수치 방법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the developement of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ ($k$ is the multiplicity of the iterated Ito stochastic integral). We obtain the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals of multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) from the stochastic Taylor-Ito expansion in the framework of the mentioned method. As a result, we do not need to use redundant terms of expansions of iterated Ito stochastic integrals, that complicate the numerical methods for Ito stochastic differential equations. Moreover, we proved the convergence with propability 1 of the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series. Mean-square approximation of iterated Stratonovich stochastic integrals is also considered in the article. The results of the article can be applied to the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations as well as non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise (in accordance with the mean-square criterion of convergence).

연구 동기 및 목표

• 임의의 다중성 $k$를 가진 반복 이토 스토케스틱 적분의 평균제곱 근사에 대한 엄밀한 방법을 개발하는 것.
• 이토 SDE의 수치적 방법을 복잡하게 만드는 여분의 전개 항의 필요성을 제거하는 것.
• 반복 이토 적분에 대한 일반화된 다중 푸리에 급수 전개—특히 푸리에-레지온드르 및 삼각함수 급수—의 거의 확실 수렴을 확립하는 것.
• 근사 프레임워크를 반복 스트라토니치 스토케스틱 적분으로 확장하는 것.
• 트레이스 클래스 노이즈를 가진 이토 SDE 및 비가환 선형성 SPDE에 대한 고차 강한 수치 방법 개발을 지원하는 것.

제안 방법

• 반복 이토 스토케스틱 적분의 근사를 위해 힐베르트 공간 $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 사용한다.
• 기저 함수로 레지온드르 다항식 또는 삼각함수를 사용하여 수직 전개를 적용한다.
• 근사의 평균제곱오차에 대한 정확한 및 근사적인 표현을 $L_2$-노름 의미에서 유도한다.
• 적분함수에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 급수 전개의 거의 확실 수렴을 증명한다.
• 변환 관계를 통해 스트라토니치 유형의 반복 적분으로 프레임워크를 확장한다.
• 수치 방법의 수렴 기준으로 평균제곱 기준을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 다중성 $k$를 가진 반복 이토 스토케스틱 적분을 근사할 때 평균제곱오차의 정확한 표현은 무엇인가?
• RQ2 푸리에-레지온드르 및 삼각함수 급수와 같은 일반화된 다중 푸리에 급수 전개의 반복 이토 적분에 대한 수렴을 어떻게 엄밀하게 확립할 수 있는가?
• RQ3 이러한 푸리에 기반 근사는 이토 SDE에 대한 고차 수치적 방법의 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 제안된 방법은 어떻게 반복 스트라토니치 스토케스틱 적분을 처리하는 데 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 스토케스틱 타일러-이토 전개의 맥락에서 근사 방법의 거의 확실 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 다중성 $k$를 가진 반복 이토 스토케스틱 적분의 근사에 대한 정확한 및 근사적인 평균제곱오차 표현을 도출한다.
• 이 방법은 다중 푸리에-레지온드르 및 다중 삼각함수 푸리에 급수 전개 모두에서 확률 1 수렴을 달성한다.
• 이 접근법은 여분의 전개 항의 사용을 피하여 확률 미분 방정식의 수치적 구현을 단순화한다.
• 프레임워크는 반복 스트라토니치 스토케스틱 적분의 평균제곱 근사로 확장된다.
• 결과는 트레이스 클래스 노이즈를 가진 이토 SDE 및 비가환 선형성 SPDE에 대한 고차 강한 수치 방법의 구축을 지원한다.
• 이 방법은 $L_2$-노름 수렴 기준에 기반하여 실용적 응용에서 강건성과 정확성을 보장한다.